Решить следующие задачи.

2.1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x - 2у - 7 = 0 и x + 3y - 6 = 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

 

2.2. Найти проекцию точки A(-8, 12) на прямую, проходящую через точки B(2, -3) и

C(-5,1).

 

2.3. Даны две вершины треугольника ABC: A(-4, 4), В(4, -12) и точка М(4, 2) пересечения его высот. Найти вершину С.

 

2.4.Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой 2y - x = 3.

 

2.5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(2, -3) и точку пересечения прямых 2x - y = 5 и x + y = 1.

 

2.6. Доказать, что четырехугольник ABCD - трапеция, если A(3, 6), В(5, 2), С(-1, -3), D(5,5).

 

2.7. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A(3, 1) перпендикулярно к прямой BC, если В(2, 5), С(1, 0).

 

2.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(-2, 1) параллельно прямой MN, если M(-3, -2), N(1, 6).

 

2.9. Найти точку, симметричную точке M(2, -1) относительно прямой x - 2у + 3 = 0.

 

2.10. Найти точку O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, если A(-1, -3), B(3, 5), С(5,2), D(3, -5).

 

2.11. Через точку пересечения прямых 6x - 4у + 5 = 0, 2x+ 5y + 8 = 0 провести прямую, параллельную оси абсцисс.

 

2.12. Известны уравнения стороны AB треугольника ABC 4x + y = 12, его высот BH 5x - 4y = 12 и AM x + y = 6. Найти уравнения двух других сторон треугольника AВС.

 

2.13. Даны две вершины треугольника AВС: A(-6, 2), B(2, -2) и точка пересечения его высот H(1,2). Найти координаты точки M пересечения стороны AС и высоты BH.

 

2.14. Найти уравнения высот треугольника ABC, проходящих через вершины А и В, если А(-4, 2), В(3, -5), C(5, 0).

 

2.15. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки А(2, 3), В(0, -3), С(6,3).

 

2.16. Составить уравнение высоты, проведенной через вершину А треугольника ABC, зная уравнения его сторон: АВ - 2х - у - 3 = 0, АС -x + 5y - 7 = 0, ВС - 3x - 2у + 13 = 0.

 

2.17. Дан треугольник c вершинами А(3, 1), В(-3, -1) и С(5, -12). Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведенной из вершины С.

 

2.18. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + 5у - 8 = 0 и 2x + 3y + 4 = 0.

 

2.19. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3x + 5у - 15 = 0, проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

 

2.20. Даны уравнения сторон четырехугольника: х - у = 0, х + 3у = 0, х - у - 4 = 0, 3х + у - 12 = 0. Найти уравнения его диагоналей.

 

2.21. Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника ABC, если A(4, 6), В(-4, 0), С(-1, -4).

 

2.22. Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях координат; б) параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу.

 

2.23. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 3) и составляющей с осью Ох угол: а) 45°, б) 90°, в) 0°.

 

2.24. Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(- 6, -6) и В(3, -1) и имеющая абсциссу, равную 3?

 

2.25. Через точку пересечения прямых 2х - 5у - 1 = 0 и х + 4у - 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок между точками A(4, -3) и B(-1, 2) в отношении = 2 / 3.

 

2.26. Известны уравнения двух сторон ромба 2х -5у - 1 = 0 и 2x - 5у - 34 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х + 3у - 6 = 0. Найти уравнение второй диагонали.

 

2.27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(3,1), В(7, 5) и С(5, -3).

 

2.28. Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(-1, 1) под углом 45° к прямой 2x + 3y = 6.

 

2.29. Даны уравнения высот треугольника ABC 2x - 3y + 1 = 0, х + 2у + 1 = 0 и координаты его вершины А(2, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.

 

2.30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х - 2у = 0, x - у - 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3, -1). Найти уравнения двух других сторон.

Решение типового варианта

1. Даны вершины треугольника ABC: А(4, 3), B(-3, -3), С(2, 7). Найти:

а) уравнение стороны АВ;

б) уравнение высоты СН;

в) уравнение медианы AM;

г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;

е) расстояние от точки С до прямой АВ.

 

а) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки, получим уравнение стороны АВ:

, откуда

 

6(x - 4) = 7(y - 3) или 6x- 7y - 3 = 0;

 

б) Согласно уравнению, угловой коэффициент прямой АВ ki = 6/7. С учетом условия перпендикулярности прямых АВ и СН угловой коэффициент высоты CH k2 = - 7/6.(k1k2 = - 7/6). По точке С(2, 7) и угловому коэффициенту k2 = - 7/6 составляем уравнение высоты СН:

у - 7 = (x - 2 ) или 7х + 6y - 56 = 0;

в) Находим координаты х, у середины М отрезка ВС:

 

x = (-3 + 2)/2 = -1/2, у = (-3 + 7)/2 = 2

 

Теперь по двум известным точкам А и М составляем уравнение медианы AM:

 

или 2x - 9y + 19 = 0;

 

г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы AM и высоты СН составляем систему уравнений:

 

 

 

Решая ее, получаем N(26/5, 49/15);

 

д) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны k₁ = 6/7. Тогда по точке С и угловому коэффициенту k₁ составляем уравнение прямой CD:

у - 7 = (x - 2) или 6x - 7y + 37 = 0;

е) Расстояние от точки С до прямой АВ:

 

d = |CH| = .

Решение данной задачи проиллюстрировано на рис. 1.1.

Рис. 1.1.

 

2. Известны вершины О(0, 0), А(-2, 0) параллелограмма OACD и точка пересечения его диагоналей

В(2, -2). Записать уравнения сторон параллелограмма.

Уравнение стороны ОА можно записать сразу: у = 0. Далее, так как точка В является серединой диагонали AD (рис. 1.2), то по формулам деления отрезка пополам можно вычислить координаты вершины D(x, у):

 

,

откуда х = 6, у = -4.

Теперь можно найти уравнения всех остальных сторон. Учитывая параллельность сторон ОА и CD, составляем уравнение стороны CD: y = -4. Уравнение стороны СD составляем по двум известным точкам:

,

откуда y = - x, 2x + 3y = 0.

 

 

Рис. 1.2.

 

Наконец, уравнение стороны АС находим, учитывая тот факт, что она проходит через известную точку А(- 2, 0) параллельно известной прямой OD:

или 2x + 3y + 4 = 0.

Контрольные вопросы.

1. Запишите уравнения осей координат.

2. Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат.

3. Сформулируйте условие параллельности прямых.

4. Сформулируйте условие перпендикулярности прямых.

5. Как найти угол между прямыми?