I Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Выведем уравнение плоскости, которая проходит через три различные точки M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂) и M₃(x₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой. Так как указанные точки не лежат на одной прямой, векторы и неколлинеарны, а потому произвольная точка M(x,y,z) лежит в одной плоскости с точками M₁, M₂, M₃ тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны. Но компланарность равносильна равенству нулю смешанного произведения векторов. Записав смешанное произведение через проекции векторов, получим:

. (1)

Это и есть уравнение плоскости проходящей через данные три точки.

II Уравнение плоскости “в отрезках”

Рассмотрим плоскость, которая пересекает все координатные оси и не проходит через начало координат. Введем обозначения для точек пересечения с осями: M₁(a;0;0), M₂(0;b;0) и M₃(0;0;c). Составим уравнение плоскости, используя формулу (1):

.

Вычислив определитель, получим:

(x–a)bc+yac+zab=0.

Разделим обе части уравнения на abc:

.

И окончательно

. (2)

Это и есть уравнение плоскости “в отрезках”.