Взаимное расположение двух прямых.

Теорема II. Пусть в некоторой аффинной системе координат даны две прямые ℓ₁: А₁ х+В₁ у+С₁ =0 и ℓ₂: А₂ х+В₂ у+С₂ =0. Тогда:

1) ℓ₁ = ℓ₂ <= > А₁, В₁, С₁ и А₂ , В₂ , С₂ - пропорциональны, то есть: ,

2) ℓ₁ ‖ ℓ₂ <= >

3) ℓ₁ ∩ ℓ₂ ≠ Ø <= > А₁, В₁, С₁ и А₂ , В₂ , С₂ - не пропорциональны.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть для прямых ℓ₁ и ℓ₂ выполнено условие =λ или А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; С₁= λС₂ . Это означает, что уравнение прямой ℓ₁ можно записать в виде: λ(А₂ х+В₂у+С₂) =0<=> любая точка прямой ℓ₁ принадлежит прямой ℓ₁ то есть эти прямые совпадают.

Достаточность.

Пусть ℓ₁ = ℓ₂ = > векторы нормали прямых ℓ₁ и ℓ₂ коллинеарны, то есть А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ . Это означает, что уравнение прямой ℓ₁ можно записать в виде: λ(А₂ х+В₂ )+С₁ =0. = > С₁ = - λ(А₂ х+В₂ у) = λС₂ = > А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; С₁= λС₂ .

2) Необходимость.

Пусть для прямых ℓ₁и ℓ₂ выполнено условие . В этом случае векторы нормалей прямых ℓ₁и ℓ₂ коллинеарны, а значит прямые ℓ₁ и ℓ₂ параллельны, но не совпадают, так как для совпадения прямых ℓ₁и ℓ₂ необходимо и достаточно, что бы .

Достаточность.

Пусть ℓ₁ ‖ ℓ₂ . = > что векторы нормалей и коллинеарны, а это значит, что А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; но С₁≠ λС₂так ℓ₁ ≠ ℓ₂.

1) Необходимость.

Пусть ℓ₁ ∩ ℓ₂ ≠ Ø. = > что векторы нормали не коллинеарны, а это значит, что А₁, В₁ и А₂ , В₂ - не пропорциональны.

Достаточность.

Пусть А₁, В₁ и А₂ , В₂ - не пропорциональны. = > что векторы нормалей неколлинеарны, а это значит, что прямые ℓ₁ и ℓ₂ не совпадают и не коллинеарны => прямые ℓ₁ и ℓ₂пересекаются.

 

 

4.Геометрический смысл знака трёхчлена Ах+Ву+С.

Теорема III. Если в аффинной системе координат дана прямаяℓ: Ах+Ву+С=0, и точка М₁(x₁;y₁),координаты которой удовлетворяют неравенству Ах₁+ Ву₁+ С > 0, то точка М₁ лежит по одну сторону от прямой ℓ с концом вектора , если его начало приложить к некоторой точке прямойℓ. Если координаты и точки М₁(x₁;y₁) удовлетворяют неравенству Ах₁+ Ву₁+ С< 0, то точка М₁ с концом вектора лежат по разные стороны от прямойℓ, если начало вектора приложить к некоторой точке прямой ℓ.

Доказательство.

Прежде, чем привести доказательство сформулированной теоремы, заметим, что вектор не параллелен плоскости α. Для того чтобы убедиться в этом проверим условие параллельности вектора плоскости α : А² + В² + С² ≠ 0.

Пусть в пространстве введена аффинная система координат R=(О ) и дан многочлен Ах+ Ву+ Сz+D. Если в этот многочлен подставит координаты точки М₁, то значением этого многочлена буде некоторое число δ. Возможны следующие случаи: .

В случае б) точка М₁ принадлежит плоскости α. Выясним, где находится точка М₁ в двух остальных случаях.

Рис.12

Проведём через точку М₁ прямую М₁Н параллельно вектору , Тогда так как ‖ , то =λ· => х_Н - х₁ = λА; у_Н - у₁ = λВ; . => х₁ = λА + х_Н ; у₁ = λВ + у_Н (10)

Подставив выражения для x₁; y₁ и z₁ в многочлен Ax + By + C , получаем: δ = Ax₁ + By₁ + C = λ(А² + В² ) + Ax_H + By_H + C.

Так как точка Н принадлежит прямой ℓ, то сумма подчёркнутых слагаемых равна 0. Таким образом δ = λ(А² + В² ). Отсюда получаем, что знак δ зависит от знака λ. => Если λ > 0 , то вектор и вектор сонаправлены и их концы расположены по одну сторону от прямой ℓ. Если λ < 0 , то вектор и вектор противоположно направлены и их концы расположены по разные стороны от прямой ℓ. (Рис.12).

Теорема доказана.

Лекция №4