Прямая, как линия первого порядка.

Теорема I. Любая прямая в некоторой системе координат на плоскости определяется уравнением первого порядка Ах+Ву+C =0.

И наоборот любое уравнение первого порядка Ах+Ву+C =0 в некоторой системе координат на плоскости задаёт в пряммую.

Доказательство.

1. Пусть на плоскости дана прямая ℓ. Введём на плоскости систему координат. Тогда, в зависимости от способа задания прямой её уравнением будет одно из следующих:

; ;

; .

Каждое из этих уравнений является уравнением первого порядка, которое легко приводится к виду Lx+By+C=0 .Ч.т.д.

2. Пусть на плоскости в некоторой системе координат дано уравнение Lx+By+C=0. Выясним, какая фигура Φ определяется этим уравнением.

Возьмём точку М₀(-С/L; 0) и вектор .

Составим уравнение прямой ℓ, заданной точкой М₀ и направляющим вектором .

Раскрыв определитель, получим Ах+Ву+Сz=0.

Очевидно, что всякая точка, принадлежащая фигуре Φ имеет координаты, удовлетворяющие уравнению Ах+Ву+Сz=0.С другой стороны, Любая точка, принадлежащая прямой ℓ , имеет координаты, удовлетворяющие тому же уравнению, => фигура Φ является прямой ℓ .

Теорема доказана.

Следствие 1. Коэффициенты А и В в уравнении плоскости имеют простой геометрический смысл. Они определяют координаты направляющего вектора прямой. .

Следствие 2. Коэффициенты А, В в уравнении прямой имеют простой геометрический смысл. Они определяют координаты нормального вектора прямой: .