Свойства параллельного проецирования

 

Одно из первых и основных инвариантных (неизменяемых в процессе проецирования) свойств начертательной геометрии гласит: ортогональная проекция точки есть точка.Это свойство следует из самого способа построения точки.

Проекция прямой линии на плоскость в общем случае есть прямая линия. Действительно, если на произвольной прямой l (рис. 7, b) взять ряд точек и провести прямые, перпендикулярные к плоскости П', на плоскости П' получим ряд проекций точек, лежащих на одной прямой.

Когда же прямая l перпендикулярна П', то все точки, лежащие на этой прямой, отображаются на проекцию одной точки на плоскости П'. Из этого следует, что когда прямая перпендикулярна плоскости, то ее проекцией является точка.

Из предыдущего инвариантного свойства можно вывести еще одно: если точка принадлежит линии, то проекции точки принадлежат проекциям этой линии. Это свойство, называемое свойством принадлежности, непосредственно следует из определения проекций какой-либо линии как совокупности проекций всех ее точек. Это же определение можно отнести и к любой плоскости или фигуре.

Действительно, если точка принадлежит плоскости, то проекции этой точки принадлежат проекциям этой плоскости; если прямая принадлежит плоскости, то проекции прямой принадлежат проекциям этой плоскости. Поскольку положение прямой определяют две точки, то для выполнения условия принадлежности прямой какой-либо плоскости необходимо, чтобы две ее точки принадлежали этой плоскости (рис. 35). Данное свойство параллельного проецирования широко используется при решении позиционных и метрических задач начертательной геометрии.

 

Рис. 35

Как построить на чертеже точку, принадлежащую заданной плоскости? Для того чтобы сделать это, предварительно строят прямую, лежащую в данной плоскости, и на этой прямой определяют точку. Можно воспользоваться какой-либо прямой, уже существующей на данной плоскости. Если, например, на прямой АВ (рис. 35) взять точку К, то проекции этой точки можно найти на всех проекциях данной плоскости, проведя лишь линии связи. Если на этой плоскости построить прямую КС и взять на ней точку М, то проекции точки М будут находиться на проекциях прямой КС. Проведя линии связи, можно по одной проекции точки определить все остальные проекции точки М.

Рассмотренные случаи присущи и центральным проекциям, однако параллельные проекции обладают еще другими свойствами, которых центральные проекции не имеют.

Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении, то проекции отрезка делятся проекцией точки в таком же отношении, т. е. отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рис. 36): АС : СВ = А'С' : С'В', так как прямые АА', СС', ВВ' параллельны между собой. Аналогично, отношение отрезков на проекции прямой равно отношению отрезков на этой прямой. Если бы точка С делила отрезок АВ прямой пополам, то проекция точки С' так же делила бы проекцию этого отрезка пополам.

Данное свойство можно использовать для деления отрезка прямой линии в каком-либо отношении или на любое количество равных частей. При этом измерять длину отрезка прямой нет необходимости.

На рис. 37 приведен пример деления отрезка КЕ на пять равных частей.

Для этого из точки К под любым углом к отрезку КЕ проводим вспомогательную прямую, на которой отмеряем пять отрезков (1 – 5). Длина их может быть любой величины, главное в данном случае, чтобы они были равными.

 

Рис. 36 Рис. 37

 

Соединяем точки 5 и Е и затем из оставшихся точек деления (1 – 4) проводим прямые параллельные линии 5 –Е до пересечения с отрезком КЕ, которые разделяют данный отрезок на пять равных частей. Аналогичным образом в данном случае можно разделить этот же отрезок на соотношения, например, 2 : 3 или 1 : 4.

Если на вспомогательной прямой отложить другое количество равных отрезков, то отрезок КЕ можно будет разделить в любом соотношении. Направление вспомогательной прямой выбирается произвольно.

Следующие инвариантные свойства параллельного проецирования формулируются следующим образом:

плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения;

проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые;

при параллельном перемещении фигуры или плоскости проекций изображение фигуры на этой плоскости не изменяется.

Три последних свойства обеспечивают более простое построение изображений методом прямоугольного проецирования, меньше искажают форму и размеры оригинала по сравнению с центральными проекциями. Действительно, если плоские фигуры параллельны плоскости проекций, то проекция трапеции есть трапеция, квадрата – квадрат, параллелограмма – параллелограмм и т. п. Поэтому параллельное проецирование и получило столь широкое практическое применение.

 

Вопросы для самопроверки

1. Перечислите способы задания плоскостей на чертеже?

2. Какая плоскость называется плоскостью общего положения?

3. Какие плоскости называются плоскостями частного положения?

4. Как располагаются плоскости частного положения по отношению к основным плоскостям проекций?

5. Какие плоскости называются проецирующими?

6. Как называются плоскости, перпендикулярные одновременно двум плоскостям проекций?

7. На какие плоскости проекций отображается в виде прямых линий профильная плоскость уровня?

8. Как расположена проекция горизонтальной плоскости уровня на фронтальной плоскости проекций?

9. Какие свойства проецирования называют инвариантными?

10. Сформулируйте свойство принадлежности прямой и плоскости.

11. Закончите фразу: «Проекций точки является …»

12. Объясните, почему параллельное ортогональное проецирование нашло столь широкое применение для выполнения чертежей в машиностроении, приборостроении, строительстве и пр.