Другие формы уравнения прямой.

Рассмотрим теперь полное уравнение прямой (1) и покажем, что оно может быть приведено к следующему виду:

, (6)

называемому уравнением прямой в отрезках.

Заметим, что в уравнении прямой в отрезках (6) числа a и b имеют простой геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат, см. рис. 1), так как точки и удовлетворяют уравнению (6)

 

		Рис. 1

 

Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения прямой, определяемой уравнением (6), с осями координат.

Уравнение прямой в отрезках удобно использовать для построения этой прямой на чертеже.

Каноническое уравнение прямой.

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой.

Поставим перед собой задачу: найти уравнение прямой, проходящей через данную точку M₁(x₁,y₁) и имеющей заданный направляющий вектор q={l,m}.

Очевидно, точка M(x,y) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы и q={l,m} коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:

(7)

Уравнение (7) и есть искомое уравнение прямой. Это уравнение называют обычно каноническим уравнением прямой.

Заметим, что в каноническом уравнении (7) один из знаменателей l или m может оказаться равным нулю (оба числа l и m равняться нулю не могут, ибо вектор q={l,m}ненулевой). Так как всякую пропорцию мы договорились принимать как равенство ad=bc, обращение в нуль одного из знаменателей в (7) означает обращение в нуль и соответствующего числителя.

В заключении запишем уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂) (конечно эти точки считаются отличными друг от друга). Так как за направляющий вектор такой прямой можно взять вектор q= и прямая проходит через точку M₁(x₁,y₁), то из канонического уравнения (6) получим уравнение ис­комой прямой в виде

(8)