Взаимное расположение прямой и плоскости
Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:
- прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;
- прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;
- прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.
Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:
т.е. прямая проходит через точку коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору
Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости соответствуют следующие признаки:
прямая и плоскость пересекаются векторы не ортогональны,а);
- прямая и плоскость параллельны векторы ортогональны, а точка не принадлежит плоскости (рис.б);
- прямая лежит в плоскости векторы ортогональны , а точка принадлежит плоскости (рис.,в).
*
Учитывая свойство скалярного произведения векторов , получаем:
- прямая и плоскость пересекаются
- прямая и плоскость ' параллельны
- прямая лежит в плоскости
Для того чтобы найти точку пересечения прямой
с плоскостью
нужно решить систему уравнений прямой и плоскости, предварительно записав уравнения прямой в параметрическом виде:
Подставив эти выражения для в уравнение плоскости и преобразовав его, получим уравнение: Если прямая не параллельна плоскости , т. е. если , то из равенства находим
Подставив найденное значение в параметрические уравнения прямой, найдём координаты точки пресечения прямой и плоскости.
Рассмотрим случай, когда Тогда возможны следующие два случая:
В случае 1) прямая параллельна плоскости и не пересекает плоскость, т. е. уравнение решения не имеет (так как имеет вид Ot+k=0, к≠О). В случае 2) уравнение имеет вид которому
удовлетворяет любое значение и поэтому любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Следовательно, прямая L лежит на плоскости . Таким образом, условие принадлежности прямой плоскости имеет вид