ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ИНТЕРПОЛ. ПОЛИНОМ ЛАГРАНЖА

Задача определ. произвольной функции либо интеграла от ф.-ии y=f(x) по заданным дискретным значениям y_і=f(x_і ) использует понятие апроксимации ф.-ии. Аппроксимация также использ.-ся при построении сеточных уравнений.

Суть задачи аппроксимации зал. в след. Пусть дана некот. неизвестная в аналитическом смысле ф.-ия y=f(x), и известно лишь ее поведение на отрезке [a, b]. Такую ф.-ию наз. аппроксимируемой. Требуется построить другую ф.-ию y=F(x), наз. аппроксимирующей ф.-ией, которая была бы близка к ф.-ии y=f(x) некот. погрешностью. Т.е. задача аппроксимации сост. в том, чтобы по зад. значениям ф.-ии y=f(x) в нескольких точках отрезка [a, b], получить ее значения в остальных точках этого отрезка. При этом необх. выполнение след.:

1) задание дискретных значений ф.-ий y_і=f(x_і )

2) класс аппроксир.-щих ф.-ий, из кот. конструируется ф.-ия y=F(x)

3) вид критерия согласия между ф.-ями y=f(x) и y=F(x)

4) оценка погрешности аппроксимации

Вид задания ф.-ии y= F (x) зависит от класса решаемых задач. При исследовании напряженно-деформированного состояния по методу конечных элементов в задачах механики деформир.-го тела аппроксим.-щие ф.-ии предст.-ся комбинацией ф.-ий 1,х,…,х^п, либо сплайнами.

Критерий согласия либо близости аппрокс.-мой и аппрокс.-щей ф.-ий опр.-ся из условия минимума расстояний между ними. Например, самым распространенным критерием явл. критерий Чебышева:

Другой критерий (метод наименьших квадратов)может быть записан в виде:

Вопросы оценки погрешности зависят от трех первых требований и рассм.-ся отдельно для каждого случая аппроксимации. Геометр. процесс интерполяции:

 

Если f(x) и F(x) совпадают в узлах аппроксимации, то этот вид аппрок.-ии наз. интерполируемым. Если же хÎ[a, b], то имеет место интерполяция, хÏ [a, b], то имеет место экстраполяция.

При r = 0 в узлах интерполяции значение интерп.-мой и интерп.-щей ф.-ии совпадают, т.е. f(x_і )= F (x_і), (1)

a₀ + a₁ x_i ¹+a₂ x_i²+…+a_nx_i ⁿ= f(x_i). (2)

В этом случае F(x) – интерполирующий полином порядка n ,

коэф.-ты а_к – неизвестны . Они нах.-ся из равенства (1), что эквив.-но (2).

a₀ + a₁ x_i ¹+a₂ x_i²+…+a_nx_iⁿ = f(x_i) (і=0, 1, 2,…,n)

Получим матрицу:

- определитель Вандермонда

W¹0, если нет несовпадаемых условий, то из системы (2) всегда можем найти а_к, т.е. построить интерпол. полином.

Интерполяц. полином Лагранжа. Задача: найти F(x), надо знать а_і.Эта задача трудна, но можно ее обойти. L_n (x)- полином Лагранжа, n – порядок (n=1,2,..). При n=1 – полином 1-го порядка,…., n-го порядка: . (1)

Интерпол. полином представляется через значения самой ф.-ии в узлах интерполирования. С_к(х) – коэф.-ты разложения. Удовлетворяя услов. Чебышева:

(2) С_к(х) обладают свойством: (3)

С_к(х) = b _к(х-х₀)(х-х₁)…(х-х_к-1)(х-х_к+1)…(х-х_п) (4).

Учитывая (4), b _к=1 ¤ (х_к – х₀)(х_к – х₁)…(х_к – х_п). Подставив b _к в (3), (3) в (2) – получим интерпол. полином Лагранжа:

 

всего применяется линейная интерполяция при n=1