Мультиплікативна числова функція.

В теории чисел, мультипликативная функция ― арифметическая функция f(m), такая что

f(m1m2) = f(m1)f(m2) для любых взаимно простых чисел m1 и m2

f(1) = 1

При выполнении первого условия, требование f(1) = 1 равносильно тому, что функция f(m) не равна тождественно нулю.

Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию f, определенную на некотором множестве X, такую что

f(x1x2) = f(x1)f(x2) для любых .

В теории чисел такие функции, то есть функции f(m), для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных m1,m2, называются вполне мультипликативными.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если

f(pα) = f(p) для всех простых p и всех натуральных α.

Примеры

Функция τ(m) ― число натуральных делителей натурального m.

Функция σ(m) ― сумма натуральных делителей натурального m.

Функция Эйлера .

Функция Мёбиуса μ(m).

Функция является сильно мультипликативной.

Степенная функция f(m) = mα является вполне мультипликативной.

Если f(m) — мультипликативная функция, то функцияg(m) = ∑ f(d)

d | m

также будет мультипликативной. Обратно, если функция g(m), определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция f(m) также мультипликативна.

Более того, если f(m) и g(m) — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле