Нахождение точек перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции y=f(x), в которых вторая производная f ''(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Если при переходе через критическую точку х=х0 вторая производная f ''(x) меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (х0; f(x0)).
Пример 5. Найти точку перегиба кривой f(x)=6x2-x3.
Решение:
f '(x)=12x-3x2
f ''(x)=12-6x
f ''(x)=0 12-6x=0
-6x=-12
x=2
f(2)=6∙22-23=24-8=16
(2;16) – точка перегиба.
Схема исследования функции.
1. Найти область определения функции y=f(x);
2. Исследовать функцию на четность и нечетность;
3. Исследовать функцию на периодичность;
4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;
5. Найти критические точки первого рода;
6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции;
7. Найти критические точки второго рода;
8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба;
9. Найти асимптоты графика функции;
10. Найти точки пересечения графика функции с осями координат;
11. Построить график.
Задания
Вариант 1 Вариант 2
1. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
2. Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую:
Построить схематический график этой функции.
3. Исследовать на выпуклость кривую:
Контрольные вопросы:
1. Дайте определения точке перегиба.
2. Как определить промежутки выпуклости графика функции?
3. Сформулируйте признаки монотонности функции.