Понятие отношения делимости на множестве натуральных чисел. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения (доказательство одной по выбору студента).

Натуральное число а ⋮ (кратность, деление нацело без остатка) делится на натуральное число b если существует такое натуральное число g, что а = b ∙ g

а⋮b <=> Е g Є N : а: b∙ g

b - делитель а

а – кратно b

(Е - в обратную сторону - обозначает существует)

Пример: 8⋮2, т.к. Е 4 Є N : 8=2∙4

Теорема: Если два натуральных числа делятся на натуральное число n, то их сумма делится на это число.

а: b Є N; n Є N

а⋮n, b⋮n .

(а+ b)⋮ n

Док-во:

а⋮n => Е g1 Є N: а=n∙g1

b⋮n=> Е g2 Є N: b=n∙g2

а∙ b= n∙g1+ n∙g2=n ∙ (g1+ g2)=> (а+ b)⋮ n ч.т.д.

С помощью математической индукции можно доказать, что теорема верна для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2:

а: b Є N, n Є N

а⋮n, b⋮n, а >b .

(а-b)⋮ n

Если натуральные числа а и b делятся на натуральное число n. а не меньше b (а ≥ b), то разность этих чисел тоже делится на n.

Теорема 3:

Если все слагаемые кроме одного делятся на натуральное число, а одно не делится, то сумма на это число не делится.

Теорема 4:

Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

а, b Є N, n Є N

а⋮n, b⋮n .

(а∙b)⋮ n

Теорема 5:Если в произведении аb множитель делится на натуральное число n, множитель b делится на натуральное число m, то произведение аb делится на произведение n m.

а, b Є N, m, n Є N

а⋮n, b⋮m .

(а∙b):n m

2. Обучающимся начальных классов предложено задание:

“Начертите два отрезка: один длиной 8 см, а другой на 2 см длинее”.

• При изучении какой темы начального курса математики возможно предложить это задание?

• Приведите рассуждение ученика при выполнении этого задания.

• Опишите методику знакомства учащихся с темой “Сантиметр”.

• Сформулируйте этапы формирования у младших школьников представлений о длине.