Декартово произведение множеств. Свойства декартова произведения. Число элементов декартова произведения конечных множеств.

Упорядоченной парой (а,в) называется набор элементов а и в, в котором а считается первым, а в – вторым. (а;в) а-первая компонента; в-вторая компонента.

(а;в)=(с;d)óa=c и в=d Декартовым произведением множеств А и В называются множества всех упорядоченных пар, в которых первая компонента принадлежит множеству А, а вторая множеству В.

АхВ={(а;в)| а€А,в€В} А={а;в;с;d} B={1;2;3}

AxB={(a;1);(a;2);(a;3)

(в;1);(в;2);(в;3)

(с;1);(с;2);(с;3)

(d;1);(d;2);(d;3)}

BxA = {(1;а);(1;в);(1;с);(1;d);

(2;а);(2;в);(2;с);(2;d);

(3;а);(3;в);(3;с);(3;d)}

АхВ≠ВхА, таким образом, декартово произведение коммуникативно, не ассоциативно.

Свойства:1. Не обладает комуникативностью и ассоциативностью.

2. Дистрибутивность относительно объединения и вычитания множеств.

Для любых трёх множеств А,В,С выполняются равенства:

(АUВ)хС=(АхС)U(ВхС) относительно объединения

(А/В)хС=(АхС)\(ВхС) относительно разности

Ах¢=¢ ¢хА=¢

Упорядоченные наборы из более чем двух элементов называются кортежами. Длина кортежа – это число элементов. АхВхСхD={(а;в;с;d)|а€А;в€В;с€С;d€D}

Декартовым произведением множества А1хА2х...хАn называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А1, вторая – А2, и т.д. Аn А1хА2х...хАn = {(а12;…аn)| а1€А1 а2€А2;…,an€Аn}

Число элементов декартова произведения конечных множеств

В классе 40 человек, 34 человека ходят в секцию баскетбола, а 23 – в волейбольную секцию, при этом 18 человек посещают обе эти секции. Сколько человек в классе не посещают ни волейбольную, ни баскетбольную секции?

А-мн-во учащихся посещающих баскетбольную секцию.

В-мн-во учащихся, посещающих волейбольную секцию.

С-мн-во учащихся класса.

n (A)=34 n (B)=23 n (A∩B)=18 n (C)=40

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B) n(AUB)=34+23-18=39

n(c\(AUB))=n(C)-n(AUB)=40-39=1(чел.)

Число элементов декартова произведения конечных множеств равно произведению числа элементов составляющих множеств. N(AxB)=n(A)∙n(B)

Изображение декартова произведения числовых множеств на координатной плоскости.

Если множества А и В – числовые то их декартово произведение можно изобразить точками на координатной плоскости.

2. Обучающимся начальных классов предложено задание:

“Не вычисляя значения выражений вставить вместо * знаки >, <, = так, чтобы получились верные записи:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2+2 *7 + 7;

2 + 2+2 * 3 + 3;

6 + 6*2 + 2 + 2 + 2 + 2;

9 + 9*2 + 2 + 2 + 2 + 2+2 + 2 + 2 + 2;

8 + 8*2 + 2 + 2 + 2 + 2+2 + 2 + 2.”

• При изучении какой темы начального курса математики можно предложить детям это задание?

• Приведите возможные рассуждения ученика при выполнении этого задания.

• Какое свойство закрепляется при выполнении данного задания? Как оно называется в математике?

• Опишите методику ознакомления учащихся начальной школы с этим свойством умножения

Это задание можно предложить детям при изучении переместительного свойства умножения2) Приведите возможные рассуждения ученика при выполнении этого задания.Слева стоит сумма 7-ми одинаковых слагаемых, каждый из которых равно 2. Её можно записать в виде умножения: 2*7Справа стоит сумма 2-х одинаковых слагаемых, каждый из которых равно 7. Её тоже можно записать в виде умножения: 7*2 2*7=7*2

3) Какое свойство закрепляется при выполнении данного задания? Как оно называется в математике? В данном задании закрепляется переместительное свойство умножения. В математике оно называется коммутативным

4) Опишите методику ознакомления учащихся начальной школы с этим свойством умножения. После изучения таблицы умножения на число 3, детей знакомят с переместительным свойством умножения. В качестве подготовительной работы повторяют формулировку переместительного свойства сложения

(от перестановки мест слагаемых сумма не меняется) 25+43=43+25

Повторяют название компонентов и результата действия умножения

1 пример: произведение 3*7=21

 

1-ый 2-ой произ.

множ. множ.

2 пример: предлагают разными способами посчитать количество кругов

В каждом ряду по 4 круга: 4*3=12. В каждом столбце по 3 круга: 3*4=12. Учитель вместе с детьми анализирует правую и левую части примеров

- Что можно сказать о правых частях примера? (они равны)

- А что можно сказать о левых частях примера? (множители одинаковые, но стоят на разных местах примера 4*3=3*4

5) Какое свойство напоминает эта запись?

Переместительное свойство умножения

Вывод: от перестановки множителей произведение не меняется

Закрепление материала строится на решение примера без иллюстрации

3*2=6 3*5=15 3*8=24 2*3= 5*3= 8*3=