Высказывательная форма. Высказывания с кванторами. Правила построения отрицаний высказываний с кванторами.
Высказывательной формой (или предикатом) называется предложение, содержащее одну или несколько переменных, при подстановке конкретных значений этих переменных образующиеся в высказывания.
Пример. P (x) x+3>5 Q (x;y) x + y = 4 B (x;y;z) x + 2y – 3z > 1
F(x) – кошка серая. В зависимости от количественных переменных говорят об одноместной высказывательной формы (когда 1 переменная) двухместной и трехместной.
С каждой высказывательной формой связано 2 множества:
1. Область определения ( х ) – это множество тех значений переменных, которые обращают высказывательную форму в высказывания.
Х – множество кошек
2. Множество истинности ( Т ) высказывательной формы – это множество тех значений переменных, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание.
Множество – область определения
Переменное множество истинности
P ( x ) x+5 = 7
x = R, T = {2}
F ( x ; y ) x – y = 2
x = R*R; T = {(x;y) x-y=2; x, y є R}; (7;5); (9;7); (5;3); (4;2); (-7;-9)
Tp c xp
|
Высказывательную форму (одноместную) превратить в высказывание можно представить вместо переменной какое-либо ее значение из области определения, но можно также получить высказывание, если перед высказывательной формой поставить слова: все,любой, каждый, хотя бы один, найдется, существует и так далее. Эти слова называются кванторалии, от латинского слова «квантор» которое обозначает сколько все или не все.
Кванторы делять на две группы:
1. Кванторы общности Ɏ: все, любой, всякий, каждый.
2. Кванторы существования ᴲ: существует, найдется, хотя бы один и т.п.
Структура высказывания квантора.
Все кошки серые
Ɏх э Х Р(х)
Х – множество кошек
Р(х) : х – серого цвета.
Как устанавливается значение истинности высказывания с кванторами.
1. Истинность высказывания квантора общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедится в ложности высказывания достаточно привести контр-пример.
Примеры.
1. Сумма любых трех последовательных N чисел делится на 3.
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
7 8 9
12 13 14
n – произвольное N число
n+n+1+n+2=3n+3=3(n+1) :3
2. Все простые числа – нечетные. Высказывание ложное, так как 2 – простое и четное.
1) Для того чтобы установить истинность высказывания квантора существования, достаточно привести 1 пример.
Пример. Существуют некоторые кошки. Чтобы убедится в ложности такого высказывания, нужно привести доказательство.
Пример. а) Существуют N числа кратные 3
ᴲхєN, х:3 Это высказывание истинно, так как х=6.
б) Среди чисел 4,6,8 найдется простое число
х={4;6;8}
Рх; х - простое число
4 – не простое число, т.к. 4 :2
6 – не простое число, т.к. 6:2, 6:3
8 – не простое число, т.к. 8:2, 8:4
Наше высказывание ложно.
Правила построение отрицания высказывания, содержащего кванторы.
I Перед васказыванием поставить слова неверно, что.
Пример. Все кошки серые.
Существуют N числа, кратные 3.
Неверно, что существуют N числа, кратные 3.
II Для того, чтобы построить отрицание высказывания с высказыванием, надо квантор заменить на противоположный и высказывательную форму на ее отрицание.
__________ __
Ɏ x є X P(x) = ᴲ x є X P (x)
__________ ___
ᴲ x є X P(x) = Ɏ x є X P (x)
Примет. Все ели зеленые.
Найдутся не зеленые ели.
Некоторые попугаи желтые.
Все попугаи не желтые.
Выявить логическую структуру личности, построить отрицание, определить значение истинности.
Ель - лиственное или хвойное дерево.
А : ель – лиственное дерево. Л
В : ель – хвойное дерево. И
А v В = и A v B = A v B : ель не хвойное и не лиственное дерево.
Все треугольники являются равнобедренными. (л)
0 < 6 < 3 A : 6 > 0 – и В : 3 > 6 - л А ^ B – л
А ^ B = А v B : 6 не больше 0 или не меньше 3.
Некоторые слова не могут быть разделены на слоги.
ᴲ х є Х Р (х)
х – множество слов.
Р(х); х – могут быть разделены на слоги.
-умножение и деление в пределах 1000. этап закрепления.
-найти истинность высказывания
-3 кл. стр 10 (2ч)
2. Обучающимся начальных классов предложено решить задание:
“Вставь нужные числа в “окошки”, чтобы получились верные равенства:
(7+2)+ =7+( 
+ 8); (3 + ) + 7 = ( + 7)+1;
(6 + ) + 4 = ( + 4) + 5; (4+2)+ =5+( +8).”
• При изучении какой темы начального курса математики, возможно, предложить такое задание?
• Приведите рассуждения ученика при выполнении этого задания.
• Сформулируйте в общем виде свойство (правило), о котором идет речь в данном задании.
• Раскройте методику ознакомления детей с этим правилом.
• Приведите примеры использования устных вычислительных приемов, основанных на этом правиле.