Понятия неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильных неравенствах (доказательство одной по выбору студента).

Пусть f (x) и g (x) – два выражения с переменной x и областью определения X, тогда предложение вида f (x) ˃ g (x) или f (x) ˂ g (x) называется неравенством с одной переменной, а множество X – областью его определения.

Пример: х + 2 ˃ 4

(2 - х) * 2 ˂ х (х + 1,5) - 4

 

С точки зрения математической логики, неравенство с одной переменной является высказывательной формой.

Опр: Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется решением.

Решить неравенство, значит найти множество его решений.

Опр: Два неравенства называются равносильными, если множества их решений равны.

Теорема 3. Пусть неравенство f (x) ˂ g (x) задано на множестве Х и выражение с переменной х h (x) определено на том же множестве Х. тогда f (x) + h (x) ˂ g (x) + h (x) ˂=˃ f (x) ˂ g (x) равносильно данному на множестве Х.

Пусть Т1 - это множество решений первого неравенства; Т2 – множество решений второго неравенства. Доказать: Т1 = Т2.

1. х1 € Т1 возьмите произвольный элемент х1 € Т1 =˃ х1 – решение 1ого неравенства =˃ =˃ f (x1) ˂ g (x1) – и.ч.н. =˃Т1 с Х } =˃ х1 € Х =˃ h (x1) – числовое выражение имеющие смысл.

=˃ воспользуемся свойством и.ч.н (истинных числовых неравенств): если к обеим частям и.ч.н прибавить одно и то же числовое выражение, то получим и.ч.н f (x1) + h (x1) ˂ g (x1) + h (x1) =˃ x1 – решение второго неравенства =˃ х1 € Т2. Итак ( х1 € Т1 =˃ х1 € Т2) =˃ Т1 с Т2.

2. Х2 € Т2 =˃ х2 – решение второго уравнения =˃

=˃ f (x2) + h (x2) ˂ g (x2) + h (x2) – л.ч.н. =˃ h(x2) – числовое выражение имеющее смысл. =˃ f(x2) + h (x2) – h (x2) ˂ g (x2) + h (x2) - h (x2) – и.ч.н =˃ f(x2) ˂ g (x2) – и.ч.н =˃ x2 – решение 1ого неравенства =˃ х2 € Т2.

Итак, (х2 € Т2 =˃х2 € Т1) =˃Т2 с Т1

3. Т1 с Т2 =˃ Т1 = Т2 =˃ 1ое неравенство ˂=˃ 2ому неравенству ч.т.д.

Т2 с Т1

Следствия:

1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же действительное число то получим неравенство, равносильное данному.

2. Если какое либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак этого слагаемого на противоположный то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4.Пусть неравенство f (x) ˂g (x) задано на множестве Х и h (x) - выражение определенное на том же множестве и принимающее на этом множестве положительное значение h (x) ˃ 0 ɏ x € X . когда неравенство f(x) * h (x) ˂ y (x) * h (x) ˂=˃ f (x) ˂ g (x) равносильно данному на множестве Х.

Следствие: Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число то получится неравенство равносильное данному.

Теорема 5.Пусть неравенство f(x) ˂ g (x) задано на множестве Х. и выражение h(x) определено на том же множестве Х, принимает на этом множестве отрицательные значения, тогда неравенства

f(x) * h(x) ˃ g (x) * h (x) ˂=˃ f(x) ˂ g(x) равносильно данному на множестве Х.

2. Обучающимся начальных классов предложено задание:

“Начертите два отрезка: один длиной 8 см, а другой на 2 см длинее”.

• При изучении какой темы начального курса математики возможно предложить это задание?

• Приведите рассуждение ученика при выполнении этого задания.

• Опишите методику знакомства учащихся с темой “Сантиметр”.

• Сформулируйте этапы формирования у младших школьников представлений о длине.