ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1.Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденного пути от времени задается уравнениями s1 = A t + B t2 и s2 = C t + D t2 + F t3. Определите закон изменения относительной скорости автомобилей.
Решение. В соответствии с законом сложения скоростей υ1 = u + υ2, где υ1 – скорость первого автомобиля относительно земли, υ2 – второго, u – скорость первого автомобиля относительно второго.
Тогда скорость первого автомобиля относительно другого автомобиля будет равна разности их скоростей относительно земли, то есть
u = υ1 - υ2.(1)
Чтобы найти скорости υ1 и υ2, необходимо найти производные пути s1 и s2 по времени.
(2)
Подставляя полученные значения в выражение (1) определим относительную скорость автомобилей:
u =A + 2B t – C – 2 Dt – 3 Ft2 = A – C +2 (B - D)t – 3 Ft2.
Задача 2.В течение времени τ скорость тела задается уравнением вида
υ = A + B t + C t2 (0 ≤ t ≤ τ). Определите среднюю скорость за промежуток времени τ.
Решение. Средняя скорость определяется как отношение пути, пройденного телом ко времени движения.
υср=s/τ (1)
По определению скорости 
Для того, чтобы определить путь, пройденный телом, необходимо произвести операцию интегрирования.
Средняя скорость определяется по формуле (1)
.
Задача 3. Для определения глубины шахты можно воспользоваться камнем и секундомером. Определить глубину шахты, если время с начала падения камня до прихода звука равнялось 5 секунд. Скорость звука в шахте принять равной 330 м/с.
Решение. Пусть время падения камня до дна шахты равно t1. Камень падает с нулевой начальной скоростью. Начало отсчета пути, пройденного камнем свяжем с точкой падения. Связь между временем падения камня до дна шахты и ее глубиной можно выразить равенством
h = g t12/2. (1)
Обозначим t2 время, за которое звук дойдет до поверхности шахты. В свою очередь, связь между временем прихода звука со дна шахты до наблюдателя и ее глубиной можно выразить следующим равенством
h = υ t2 (2)
где υ – скорость звука в шахте. Известно, что звук доносится через некоторое время t = 5 сек от начала падения камня. За это время камень должен упасть и звук должен дойти до поверхности:
t = t1 + t2,
t2= t - t1.
Приравнивая правые части равенств (1) и (2), найдем время падения камня до дна шахты
g t1 2/2= υ (t - t1), (3)
g t12 + 2 υ t1 – 2 υ t = 0.
Получаем квадратное уравнение, одним из корней которого будет положительное значение времени t1 = 4,7 c. Подставляя полученное значение времени в выражение (1), получим высоту шахты h = 109 м.
Задача 4.Телоброшено под углом к горизонту. Оказалось, что максимальная высота подъема h = s / 4 ( s - дальность полета). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол броска к горизонту.
Решение. Начальная скорость υо тела будет направлена под углом α к горизонту (Рис. 1), поэтому проекции начальной скорости υо тела на оси х и y будут равны, соответственно
(1)
Запишем проекцию уравнения движения тела на оси х и у:
, 
(2)
Обозначим t – время подъема тела, тогда полное время полета тела 2 t. В этот момент времени координата y = 0. Тогда из (1) и (2) получим:
И выразим отсюда время подъема тела
. (3)
Зная время подъема, можно вычислить высоту подъема тела (как координату y в данный момент времени). Тогда, используя формулы (2) и (3) получим:
. (4)
По условию задачи h = s /4. Дальность полета s будет определяться как координата x, соответствующая времени полета (2 t). Из формул (2) и (3):
. (5)
Используя соотношение h = s /4 и формулы (4) и (5) получим
. (6)
Сокращая выражение (6) получаем
Задача 5.Точкасовершает гармонические колебания с частотой
v = 10 Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение xmax = 1 мм. Написать уравнение колебаний точки.
Решение. Уравнение колебаний точки можно записать в виде
x = A sin (ω t + φо), (1)
где А – амплитуда колебаний, ω –циклическая частота, t – время, φо - начальная фаза колебаний. По определению, амплитуда колебаний
А = xmax. (2)
Циклическая частота ω связана с частотой v соотношением
ω =2 π v. (3)
Для момента времени t = 0 формула (1) примет вид
xmax = А sin φо.
Откуда начальная фаза φо = arcsin (xmax / A)=arcsin 1,
φо = (2 k + 1) π / 2 , где ( 
).
Изменение фазы на 2 π не изменяет состояния колеблющейся точки, поэтому можно принять φо = π / 2.
С учетом этих равенств, уравнение колебаний примет вид
x = A sin (2 π v t + π / 2) = А cos (2 π v t).
Подставляем значения и получаем
x = 10-3 cos (20 π t).
Задача 6. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью υо = 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием M = 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой m = 10 кг вылетает из ствола под углом α = 60° к горизонту. Определите скорость снаряда υ (относительно земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в n = 2 раза.
Решение. На платформу и снаряд действует сила тяжести и сила реакции опоры, но обе силы направлены вертикально, то есть, у этих сил нет горизонтальной составляющей. Следовательно, не меняется горизонтальная составляющая импульса системы.
Снаряд выпущен под углом к горизонту, следовательно, у него присутствует вертикальная составляющая импульса, которая увеличивается. Запишем этот закон в проекции на направление движения платформы и снаряда (Рис. 2).
Задача 7. Поезд массой m = 600 т равноускоренно движется под гору с уклоном α = 1° (Рис. 3) и за время t = 1 мин развивает скорость υ = 18 км/ч. Коэффициент трения μ = 0,01. Определите среднюю мощность <N> локомотива.
Решение. Средняя мощность по определению определяется по формуле
Работа представляет собой изменение кинетической энергии, потенциальной энергии, и работы сил трения.
Выразим высоту h = s sin α, а работу сил трения представим как произведение силы трения на перемещение
В соответствии со вторым законом Ньютона 
Спроецировав данное выражение на ось oy, с учетом 
, 
,
Получим, что сила трения 
.
Тогда средняя мощность определяется следующим образом
Так как по условию задачи, поезд движется равноускоренно, то 
.
Ускорение в нашем случае будет определяться формулой
a = υ / t =0,08м/с2, тогда s = 72 м.
Вычислим значение работы, зная, что 18 км/ч = 5 м/с.
Задача 8.В лифте на пружинных весах находится тело массой т=10 кг.. Лифт движется с ускорением а=2 м/с2. Определить показания весов в двух случаях, когда ускорение лифта направлено: 1) вертикально вверх, 2) вертикально вниз.
Решение. Определить показания весов — это значит найти вес телаG, т. е. силу, с которой тело действует на пружину. Но эта сила, по третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе упругости N (силе реакции опоры), с которой пружина через посредство прикрепленной к ней чашки весов действует на тело, т. е.
, или G=N.
Следовательно, задача определения показания весов сводится к нахождению реакции опоры N.
На тело действуют две силы: сила тяжести Р= mg и сила N.
Направим ось z вертикально вверх и спроецируем на нее все силы, действующие на тело. Индекс z у проекции сил опустим, так как проекции и сами силы совпадают по величине. Направление сил учтем знаком плюс или минус. Напишем уравнение движения:
N – P = ma, откуда
N= P+ma = m(g+a). (2)
Из равенств (1) и (2) следует
G = m(g + a).
При вычислении показания весов следует учесть знак ускорения:
1) ускорение направлено вертикально вверх (a>0), тогда
G1 = 10∙(9,81 + 2) = 118 Н;
2) ускорение направлено вертикально вниз (a<0), тогда
G2 = 10∙(9,81 – 2) = 78 Н.
Задача 9. Материальная точка массой m = 1 кг двигается под действием некоторой силы согласно уравнению s = A – B t + C t2 – D t3, B = 3 м/с, С = 5 м/с2, D = 1 м/с3. Определить мощность N, затрачиваемую на движение точки в момент времени t = 1 с.
Решение. Величина мгновенной мощности представляет собой производную работы по времени
(1)
Бесконечно малая работа равна бесконечно малому дифференциалу кинетической энергии материальной точки.
δA = dT . (2)
Кинетическая энергия по определению равна
.
Согласно выражению (1), находим производную кинетической энергии по времени
(3)
Для того, чтобы вычислить значение мощности, необходимо знать скорость движения точки, ее мы определяем по определению скорости
Тогда мощность будет равна
N = 1•4•4 = 16 Вт.
Задача 10. С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом, скатывается шарик. Пренебрегая трением, определите время движения шарика, если известно, что центр масс его опустился на 30 см.
Решение. В результате движения потенциальная энергия шарика mgh перешла в кинетическую энергию поступательного движения mυ2/2 и в кинетическую энергию вращения Jω2/2. Тогда, по закону сохранения энергии
(1)
Момент инерции шара равен
J = (2/5) m R2 (2)
где R – радиус шара, m – масса шара.
Угловая скорость связана с линейной скоростью следующим соотношением ω = υ/R.
Подставляем необходимые значения в выражение (1)
Из полученного соотношения выражаем линейную скорость движения центра масс шарика 
.
Время движения шарика можно определить из кинематического уравнения движения шарика по наклонной плоскости длинной l.
(3)
Ускорение мы определили в данном случае как a = υ/t.
Из уравнения (3) выражаем время движения шарика
.
Для того, чтобы определить длину пути l шарика по наклонной плоскости воспользуемся соотношениями в прямоугольном треугольнике. Гипотенуза l будет равна
Задача 11.Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой m1 = 180 кг вращается вокруг вертикальной оси с частотой n = 10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой m2 = 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа-человек остается постоянной.
Lz = Jz ω = const (1)
Где Jz – момент инерции платформы с человеком относительно оси z,
ω – угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы (платформы и человека), поэтому в начальном состоянии
Jz = J1+J2,
а в конечном состоянии
Jz = J' 1+J' 2.
С учетом этого равенство (1) примет вид:
(J1+J2) ω = (J'1+J'2) ω' (2)
где значения моментов инерции J1 и J2 соответственно относятся к начальному состоянию системы, а J'1и J'2 к конечному.
Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется J1 = J'1=(1/2) m1 R2. Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J'2= m2 R2. Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком ω = 2 π n и конечной угловой скорости ω'= υ/R, где υ – линейная скорость человека относительно пола.
((1/2) m1 R2 + 0) 2 π n = ((1/2) m1 R2 + m2 R2) υ/R.
После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость υ.
υ =2 π n R m1 / (m1+2 m2).
Тогда получим, что υ =0,94 м/с.
Задача 12.Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = A + B t2 + C t3, B = 2 рад/с2,С = - 0,5 рад/с3. Определить момент силы М для момента времени t = 3 c.
Решение. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения: момент силы M равен произведению момента инерции J на угловое ускорение β.
M = J β (1)
Момент инерции шара равен
J = (2/5) m R2 (2)
где R – радиус шара, m – масса шара.
Чтобы найти угловое ускорение, необходимо найти вторую производную от уравнения вращательного движения. Сначала найдем угловую скорость
Подставляя значения заданных физических величин, получаем, что
М = -0,1 Н•м.
Знак минус показывает, что на шар действует тормозящая сила.
Задача 13. Баллон содержит m1 = 80 г кислорода и m2 = 320 г аргона. Давление смеси p = 1 МПа, температура Т = 300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем баллона.
Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева-Клапейрона, парциальные давления p1 кислорода и p2 аргона выражаются формулами:
p1 = m1 R T / M1 V,
p2 = m2 R T / M2 V.
Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов
p = p1 + p2,
или p = (m1 / M1 + m2 / M2) R T / V.
Откуда объем баллона
V = (m1 / M1 + m2 / M2) R T / p
Произведем вычисления, учитывая, что M1 = 32•10-3 кг/моль,
M2 =40•10-3 кг/моль:
V = (0,08/32•10-3+0,32/40•10-3) •8,31•300/106=0,0262 м3 = 26,2 л.
Задача 14.В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p1 = 1 МПа и при температуре Т1 = 300 К. После того, как из баллона взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определите давление p2 гелия, оставшегося в баллоне.
Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа.
, (1)
где m2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии, M – молярная масса гелия, R – молярная газовая постоянная.
Из уравнения (1) выразим искомое давление
. (2)
Массу m2 гелия выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию и массу m гелия, взятого из баллона:
m2 = m1 – m. (3)
Массу m1 гелия найдем также из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию:
. (4)
Подставив это выражение массы в (3), а затем найденное значение m2 в (2), найдем
Задача 15. Найти среднюю кинетическую энергию <Евр> вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию Ек вр вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4 г.
Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия <εi> = ½ kT, где k – постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода О2 двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода
. (1)
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа
Eквр = <εвр> N. (2)
Число всех молекул
N = NA v, (3)
где NA – постоянная Авогадро, v – количество вещества.
Если учесть, что количество вещества v = m / M, где m – масса газа,
M – молярная масса газа, то формула (3) примет вид
N = NA m / M
Подставив N в формулу (2), получим
Eквр = <εвр> NA m / M.
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М = 32•10-3 кг/моль.
Задача 16. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением p1 = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3 = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную работу А и теплоту Q, переданную газу.
Решение. Изменение внутренней энергии газа
, (1)
где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода О2 i = 5); ΔT = T3 - T1 – разность температур в конечном и в начальном состояниях.
Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона pV = (m/M)RT, откуда
Т = pVM/mR.
Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой
А1 = p1(V2 - V1).
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме равна нулю А2 = 0.
Следовательно, полная работа, совершаемая газом
А = А1 + А2 = А1.
Согласно первому началу термодинамики, теплота, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А. Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М = 32•10-3 кг/моль и получим, что
Т1 = 385 К, Т2 = 1155 К, Т3 = 2888 К, А1 = 0,4 МДж, Q = 3,64 МДж,
ΔU = 3,24 МДж.
Задача 17. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т1= 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т2 теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу A = 350 Дж.
Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой:
,
где Q1 – теплота, полученная от теплоотдатчика, А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. КПД для цикла Карно выражается формулой:
.
Следовательно, температура охладителя
Т2 = Т1(1 - η ).
Произведем вычисления
η = 350 / 1000 = 0,35,
Т2 = 500 (1 - 0,35) = 325 К.
ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1
| Номер варианта | Номера задач | |||||||
| 1.01 | 1.11 | 1.21 | 1.31 | 1.41 | 1.51 | 1.61 | 1.71 | |
| 1.02 | 1.12 | 1.22 | 1.32 | 1.42 | 1.52 | 1.62 | 1.72 | |
| 1.03 | 1.13 | 1.23 | 1.33 | 1.43 | 1.53 | 1.63 | 1.73 | |
| 1.04 | 1.14 | 1.24 | 1.34 | 1.44 | 1.54 | 1.64 | 1.74 | |
| 1.05 | 1.15 | 1.25 | 1.35 | 1.45 | 1.55 | 1.65 | 1.75 | |
| 1.06 | 1.16 | 1.26 | 1.36 | 1.46 | 1.56 | 1.66 | 1.76 | |
| 1.07 | 1.17 | 1.27 | 1.37 | 1.47 | 1.57 | 1.67 | 1.77 | |
| 1.08 | 1.18 | 1.28 | 1.38 | 1.48 | 1.58 | 1.68 | 1.78 | |
| 1.09 | 1.19 | 1.29 | 1.39 | 1.49 | 1.59 | 1.69 | 1.79 | |
| 1.10 | 1.20 | 1.30 | 1.40 | 1.50 | 1.60 | 1.70 | 1.80 |