Замечания 3.1.

1.Условие (3.8 а) можно записать в векторной форме: ∇ _x L ( x *, λ₀ ^* , λ₀ ^* ) = 0.

2. Система (3.8) содержит n + m уравнений с n + m + 1 неизвестными λ₀ ^* , λ^* = (λ₁ ^* , …, λ _m ^* ) ^T , x * = ( x ₁ ^* , …, x_n ^* ) ^T . Точки х *, удовлетворяющие системе при некоторых λ₀ ^* , λ^* , называются условно-стационарными.

3. При решении задач проверка условия регулярности затруднена, так как точка х * заранее не известна. Поэтому, как правило, рассматриваются два случая: λ₀ ^* = 0 и λ₀ ^* ≠ 0. Если λ₀ ^* ≠ 0, в системе (3.8 а) полагают λ₀ ^* = 1. Это эквивалентно делению системы уравнений (3.8 а) на λ₀ ^* и замене на λ _j ^* . При этом обобщенная функция Лагранжа становится классической, а сама система (3.8) имеет вид

Здесь число уравнений равно числу неизвестных.

4.Система (3.9) отражает тот факт, что антиградиент целевой функции в регулярной точке экстремума х * является линейной комбинацией градиентов ограничений. Действительно, с учетом (3.3) можно переписать условие (3.9 а) в форме

Отсюда

Рис. 3.2

Точка х * условного экстремума (максимума) является точкой касания линии уровня целевой функции и кривой, описывающей ограничение (рис. 3.2). В точке возможно движение вдоль ограничения, связанное с увеличением функции.

5.Точка экстремума, удовлетворяющая системе (3.8) при λ₀ ^* ≠ 0, называется регулярной , а при λ₀ ^* = 0 — нерегулярной . Случай λ₀ ^* = 0 отражает вырожденность ограничений. При этом в обобщенной функции Лагранжа исчезает член; содержащий целевую функцию, а в необходимых условиях экстремума не используется информация, представляемая градиентом целевой функции.

6.Условие допустимости решения, являющееся следствием постановки задачи (3.7), включено в (3.8), (3.9) для удобства формирования алгоритма решение задачи.

Утверждение 3.2(необходимые условия экстремума второго порядка).

Пусть х * — регулярная точка минимума (максимума) в задаче (3.7) и имеется решение ( х *, λ *) . Тогда второй дифференциал классической функции Лагранжа, вычисленный в точке (х *, λ *), неотрицателен (неположителен):

для всех d х ∈ Rⁿ таких, что

Утверждение 3.3(достаточные условия экстремума).

Пусть имеется точка ( х *, λ *), удовлетворяющая системе (3.9). Если в этой точке d ² L ( х *, λ *) > 0 ( d ² L ( х *, λ *) < 0) для всех ненулевых dx ∈ R ⁿ таких, что

то точка х * является точкой локального минимума (максимума) в задаче (3.7).

Замечание 3.2.Достаточные и необходимые условия экстремума второго порядка проверяются в условно-стационарных точках, которые удовлетворяют системе (3.8) при λ₀ ^* ≠ 0 или системе (3.9), так как для практики безусловно представляет интерес случай, когда в функции Лагранжа присутствует целевая функция, экстремум которой ищется.