ЛЕКЦИЯ 13

Тема: Уравнения движения механизмов. Приведение сил и масс в плоских механизмах. Приведенный момент инерции. Приведенная масса. Вывод уравнения для приведенной массы. Звено приведения. Основные формы уравнений движения. Интегрирование уравнений движения.

 

Характеристики сил, действующих на звенья механизмов.Для кинематического и для силового анализов надо знать законы движения начальных звеньев, т. е. зависимости обобщенных координат от времени. Эти зависимости находятся из решения обратной, или второй, задачи динамики: по заданным силам определить движение.

Силы, действующие на звенья механизма, могут быть функциями времени. Например, сила сопротивления, действующая на лопасть, механизма перемешивающего аппарата, изменяется во времени соответственно изменению свойств перемешиваемой среды; движущая! сила, действующая на входное звено гидравлической муфты, зависит от времени истечения жидкости через постоянное отверстие.

Чаще, однако, переменные силы, действующие на звенья меха­низма, связаны или с перемещениями, или со скоростями точек приложения этих сил. Например, сила пружины связана с ее деформа­цией, т. е. с перемещением точки приложения силы; сила взаимодей­ствия проводника с током и магнитного поля в электродвигателе свя­зана со скоростью движения проводника относительно поля и т. д.

Функциональная зависимость, связывающая величину силы и кине­матические параметры(время, координаты и скорость точки прило­жения силы), называется характеристикой силы. Величина силы в этой зависимости может быть и функцией, и аргументом. Однако для удобства расчетов будем всегда считать, что величина силы есть функ­ция указанных кинематических параметров. При решении задач ди­намического анализа механизмов характеристики сил считаются за­данными.

Уравнение движения механизма в форме интеграла энергии (урав­нение кинетической энергии). Для определения законов движения на­чальных звеньев по заданным силам, действующим на звенья меха­низма, используются уравнения, называемые уравнениями движения механизма. Число этих уравнений равно числу степеней свободы ме­ханизма.

Уравнения движения механизма могут быть представлены в раз­личных формах. Для механизмов с одной степенью свободы одна из наиболее простых форм получается на основании теоремы об изме­нении кинетической энергии. В интегральной форме уравнение дви­жения механизма имеет вид

(13.1)

где

п — число подвижных звеньев механизма;

А_i — работа внешних (по отношению к механизму) сил, действующих на звено i на конеч­ном перемещении за рассматриваемый промежуток времени;

T_i — кинетическая энергия звена i в конце рассматриваемого промежутка времени;

Т_i0 — кинетическая энергия звена i в начале этого промежут­ка времени.

Уравнение (10.1) можно получить также из дифференциальных уравнений движения звеньев механизма путем их интегрирования. На этом основании уравнение (13.1) называют уравнением движения механизма в форме интеграла энергии.

Приведение сил и масс в плоских механизмах. Уравнение (13.1) пред­ставляется довольно громоздким даже для плоских механизмов с не­большим числом звеньев вследствие необходимости производить сум­мирование по п звеньям. Для механизмов с одной степенью свободы можно получить более простую запись этого уравнения, при которой все операции суммирования по п звеньям выполняются заранее. С этой целью заменим уравнение движения механизма (13.1) тождественным ему уравнением движения одного звена (или одной точки звена), которое движется так, что его обобщенная координата совпадает в лю­бой момент времени с обобщенной координатой механизма.

Пусть, например, начальное звено механизма совершает враща­тельное движение. Тогда уравнение движения механизма (13.1) можно заменить тождественным ему уравнением движения одного вращающегося звена, называемого звеном приведения (рис. 13.1 а). Момент инер­ции этого звена относительно оси вра­щения обозначим через I_П и назовем приведенным моментом инерции. При­мем также, что на звено приведения действует пара сил с моментом М_П,который называется приведенным мо­ментом сил. Полученная расчетная схема называется одномассовой дина­мической моделью механизма.

Рисунок 13.1.

Покажем, что всегда можно опре­делить такие величины I_П и М_П, при которых уравнение движения звена приведения окажется тож­дественным уравнению движения механизма и, следовательно, обоб­щенная координата звена приведения будет совпадать с обобщенной координатой механизма в любой момент времени. Напишем уравнение движения звена приведения

конечного промежутка времени, за ко­торый обобщенная координата изменяется от j₀ до j, а приведенный момент инерции (в общем случае величина переменная) от I_П до I_П0

 

(13.2)

где w — угловая скорость звена приведения, которая по условию должна совпадать с угловой скоростью начального звена;

w₀ — значе­ние угловой скорости при j=j₀.

Для того чтобы уравнения (10.1) и (10.2) были тождественными, не­обходимо и достаточно выполнение двух условий:

(13.3)

(13.4)

причем если удовлетворяется уравнение (10.4), справедливое для лю­бого момента времени, то удовлетворяется и уравнение

(13.5)

Из уравнения (13.3) можно найти приведенный момент силы М_П,а из (13.4) — приведенный момент инерции I_П.

Приведенным моментом сил называется момент пары сил, условно приложенной к звену приведения и определяемой из равенства элемен­тарной работы этой пары сил сумме элементарных работ сил и пар сил, действующих на звенья механизма. Равенство элементарных работ сил при стационарных геометрических связях одновременно озна­чает равенство их мощностей:

М_П w = (13.6)

где

N_i – мощность сил и пар сил, приложенных к звену i.

Пусть на звено i действуют сила ,для которой скорость точки ее приложения равна , и пара сил с моментом М_i,который считаем положительным, если его направление совпадает с направлением угло­вой скорости звена w_i, и отрицательным, если эти направления про­тивоположные. Тогда из соотношения (13.5) получаем формулу для вычисления приведенного момента сил:

(13.7)

Указанная сумма может быть и положительной, и отрицательной. Знак минус указывает, что момент М_П направлен противоположно угловой скорости звена приведения. Приведенный момент сил, опре­деляемый по формуле (13.7), можно рассматривать так же, как скаляр­ную величину, совпадающую с обобщенной силой по Лагранжу.

Обобщенной силой по Лагранжу называется скалярная величина, равная от­ношению суммы возможных работ сил, приложенных к механической системе при изменении только одной обобщенной координаты, к вариации этой координаты.

Иногда отдельно приводят силы движущие, силы сопротивления, силы трения, силы тяжести, силы, действующие на какое-либо звено, и т. п. Формула (13.7) остается справедливой во всех случаях. Надо только указывать, какие силы были выбраны за приводимые.

Из уравнения (13.4) следует, что приведенный момент инерции можно определить как момент инерции, которым должно обладать звено приведения относительно оси его вращения, чтобы кинетическая энергия этого звена равнялась сумме кинетических энергий всех звеньев механизма.

При плоском движении кинетическая энергия звена определяется по формуле

T_i = 0.5(m_iu²_si + I_si w_i²) (13.8)

где

т_i — масса звена i;

u_si — величина скорости центра масс звена i;

w_i — угловая скорость звена i;

I_si — момент инерции звена i относи­тельно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения. Подставляя это значение Т_i в уравнение (13.4) и производя преобразования, получаем

(13.9)

Если начальное звено совершает прямолинейно-поступательное движение, то динамическая модель механизма представляет собой материальную точку с массой т_П (приведенной массой), которая дви­жется под действием силы Р_П, называемой приведенной силой, так, что обобщенная координата s этой точки совпадает с обобщенной координа­той механизма в любой момент времени (рис. 13.1, б). Формулы для опре­деления приведенной силы и приведенной массы имеют вид, аналогич­ный формулам (13.6) и (13.8):

(13.10)

(13.11)

Где u — величина скорости прямолинейно движущегося начального звена.

В общем случае для построения динамической модели механизма за точку приведения, т. е. точку, в которой сосредоточивается приве­денная масса, можно выбрать любую точку механизма. Тогда приве­денной массой механизма называют массу, которую надо сосредоточить в данной точке механизма (точке приведения), чтобы кинетическая энергия этой материальной точки равнялась сумме кинетических энергий всех звеньев механизма. Соответственно приведенной силой назы­вают силу, условно приложенную к точке приведения и определяемую из равенства элементарной работы этой силы сумме элементарных работ сил и пар сил, действующих, на звенья механизма.

Приведенная сила и приведенная масса (соответственно приведен­ный момент сил и приведенный момент инерции) не зависят от величи­ны скорости точки приведения v, так как в формулы (13.10) и (13.11) входят только отношения скоростей, которые не изменяются с изме­нением u. Если u изменяется в k раз, то во столько же раз изменяются величины u_i, u_si и w_i. Отсюда следует, что определение приведенных сил и масс можно выполнить, не зная еще скорости точки приведения, т. е. до решения уравнения движения. В этом заключается основное достоинство приведения сил и масс. К этому заключению можно прийти также, обратив внимание на то, что в формулы (13.6), (13.9) и (13.10), (13.11) кроме заданных постоянных величин входят только аналоги скоростей, которые не зависят от времени.

Приведенная масса может быть переменной величиной, если от­ношения скоростей, входящие в формулу (10.11), являются перемен­ными величинами, зависящими от положения звеньев. Однако точку приведения с переменной приведенной массой нельзя рассматривать как модель тела переменной массы. Изменение приведенной массы от­ражает лишь изменение кинетической энергии звеньев механизма с постоянными массами.

Определение приведенных сил и пар сил по теореме Жуковского.Мощность приведенной силы равна сумме мощностей сил и пар сил, приложенных к звеньям механизма. На основании теоремы Жуковского это условие равносильно равенству

(13.12)

Где r_П и r_i — плечи относительно полюса повернутого на 90° плана скоростей приведенной силы и силы , действующей на звено i;

— составляющая пары сил, действующей на звено i;

— плечо этой пары на повернутом плане скоростей.

Из уравнения (13.12) определяется величина приведенной силы, а направление получается из условия, что на повернутом плане скоро­стей момент приведенной силы совпадает по направлению с суммарным моментом приводимых сил и пар сил.

Для определения момента приведенной пары сил М_П представляем эту пару в виде двух составляющих , одна из которых приложена в центре вращения начального звена А, а другая — в точке В, от­стоящей от центра А на расстоянии l_АВ. Составляющие пары сил направляем перпендикулярно отрезку АВ. Определив составляющую приложенную в точке В, аналогично указанному выше определе­нию приведенной силы находим искомую величину приведенного мо­мента сил из условия

М_П = l_АВ (13.13)

Кинетическая энергия пространственного механизма. Приведе­ние сил и масс целесообразно выполнять при динамическом анализе не только плоских, но и пространственных механизмов. Для определе­ния приведенной массы надо знать выражение кинетической энергии звена, совершающего пространственное движение.

Свяжем со звеном i центральную систему координат х_i у_i z_i, т. е. систему с началом координат в центре масс S_i, и обозначим через , , моменты инерции звена относительно координатных осей, а через , , — центробежные моменты инерции. Кроме того, считаем известными скорость центра масс звена и проекции мгно­венной угловой скорости при сферическом движении звена относи­тельно центра масс на указанные координатные оси: , , .

Тогда кинетическая энергия звена i будет равна сумме кинетиче­ской энергии в поступательном движении по траектории центра масс со скоростью и кинетической энергии при сферическом движении вокруг центра масс:

(13.14)

Координатные оси х_i у_i z_i всегда могут быть выбраны так, что все центробежные моменты инерции обратятся в нуль. Координатные оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции. В дальнейшем всегда считаем, что оси координат, связанные со звенья­ми, являются главными центральными осями инерции.

Дифференциальное уравнение движения механизма. Кроме урав­нения движения механизма в форме интеграла энергии в некоторых случаях удобно применить уравнение движения механизма, представ­ленное в форме дифференциального уравнения второго порядка. Это уравнение можно получить из уравнения кинетической энергии в диф­ференциальной форме dА=dТ.

При вращающемся начальном звене после приведения сил и масс получаем

М_П dj =d (I_П w²/2) или

Отсюда:

(13.15)

где

e — угловое ускорение начального звена.

Уравнение (12.14) можно получить также из уравнения Лагранжа 2-го рода, которое после приведения сил и масс имеет вид:

, где Т= I_П w²/2

После дифференцирования получаем:

; ; ; (13.16)

Подставляя значения производных в уравнение Лагранжа, вновь получаем уравнение (13.15).

Аналогичный вид имеет дифференциальное уравнение движения механизма при прямолинейно движущемся начальном звене.

 

Литература: /I/ гл.19 §88, §89 /2/ гл.2 лекция 8.

Вопросы для проверки: