Разложение вектора по базису. Координаты вектора.

 

Определение 7. Назовем базисом в пространстве три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору упорядоченную тройку чисел - коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи базиса мы сопоставим вектор, если составим линейную комбинацию .

Определение 8. Если - базис и , то числа называются координатами вектора в данном базисе. Принята запись .

Аналогично определяются координаты вектора на плоскости.

 

Определение 9. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка – начало координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов – осями координат. Первая – осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат.

Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Координаты радиуса – вектора точки М, назовем координатами самой точки М, М(х;y;z).

В декартовой системе координат базис назовем ортонормированным. Его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Все они имеют общее начало точку О(0;0;0) и направление соответственно осям координат. Будем называть их единичными или ортами. Тогда любой вектор можно разложить по ортам, записав его в виде комбинации , где - координаты вектора.

§3.4 Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.

Пусть в базисе заданы векторы и

1. Сложение. Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых:

 

2. Вычитание.

Пусть в декартовой системе координат вектор задан двумя точками

и Найти координаты вектора

По правилу вычитания векторов Согласно определению координат точки:

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами точек начала и конца, надо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала.

Пример. А(-1;2;3) В(0;-1;1)

=(1;-3;-2);

 

3. Умножение вектора на число.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число:

 

4. Деление отрезка в данном отношении

Задача. Даны точки и Найти точку , делящую отрезок М₁М₂ в отношении

 

 

 

Решение:

Найдем координаты векторов и

тогда

-координаты М, делящей отрезок в отношении

Положив Найдем координаты середины отрезка.

Пример. А(-2;1), В(3;6) Разделить отрезок в отношении

Ответ: М(0;3)

 

5. Условие коллинеарности векторов.

Если векторы и коллинеарны, то всегда можно найти такое число , что . В координатах это условие выглядит так: , , , , , или -условие коллинеарности двух векторов.

Пример. При каком значении р векторы , будут коллинеарны.

Ответ: -