Линейные операции над n-мерными векторами.
Векторная алгебра
N – мерные векторы.
1. Линейные операции над n – мерными векторами.
2. Разложение вектора по системе векторов.
Введение. Пространство можно определить, как некоторое множество, имеющее структуру.
Пространство считается заданным, если между объектами множества установлены вполне определенные отношения и (или) определены некоторые операции.
Поскольку понятие пространства сформировалось в результате абстрагирования и обобщения трёхмерного евклидового пространства, то в пространстве обычно фиксируются отношения сходные по формальным признакам с этим пространством.
Наиболее характерным среди них является расстояние.
Исторически первым сформировалось понятие 3-х мерного геометрического пространства, которое в дальнейшем обобщалось и трансформировалось.
Один из вариантов обобщения:
- увеличение размерности объектов, составляющих пространство вплоть до объектов бесконечной размерности.
- переход от числовых последовательностей как элементов пространства к объектам, имеющим самую различную природу.
Возможность перехода от трехмерных векторов к многомерным появилась тогда, когда вектор стали рассматривать, как упорядоченную последовательность n чисел.
Пример 1 (многомерного пространства)
Каждая точка фазового пространства характеризуется упорядоченным набором параметров, описывающих состояние объекта рассмотрения.
Экономическое состояние предприятия может характеризоваться:
Стоимостью основных фондов, количеством работников, объемом выпускаемой продукции, её себестоимостью и т.п., которые в совокупности можно рассматривать в n – мерном пространстве, а изменения экономического состояния – как траекторию (годограф) движения в этом пространстве состояний.
Пример 2 Трехмерное цветовое пространство, состоящее из векторов, компоненты которого суть интенсивности красного, зелёного и синего цветов.
Изменяя, интенсивность этих 3-х цветов и накладывая, их потом друг на друга, можно получать цветовую палитру с неограниченным числом различных оттенков. На этом принципе основана работа цветных электроннолучевых трубок в телевизорах и мониторах компьютеров.
Формально переход от одного цвета или оттенка к другому можно описать перемещением от точки к точке в 3-х мерном цветовом пространстве. При этом изменение цвета можно измерять количественно, используя операции над векторами.
Линейные операции над n-мерными векторами.
Пусть на каком-нибудь множестве объектов определены действия сложения и умножения на число. Это означает, что указанные действия имеют смысл и результатами их действий являются элементы того же самого множества.
Например: сложение определено на множестве матриц одной размерности, а для матриц различной размерности сложение не имеет смысла.
- умножение на вещественное число во множестве целых чисел неопределенно, т.к результатом такого умножения может оказаться нецелое число (объект другого множества)
Определение. Линейным пространством называется множество, на котором определены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющее следующим условиям:
1. Коммутативность:
2. Ассоциативность:
3. Существует нулевой элемент 0 такой, что для любого x
4. Для любого элемента существует противоположный ему элемент такой, что
5. Пусть c и d - числа, тогда:
6.
7.
Примерами линейного пространства является:
- пространство действительных чисел.
- множество геометрических векторов на плоскости.
- пространство матриц фиксированной размерности.
- пространство решений однородных линейных систем и др.
Будем рассматривать в качестве элементов линейного пространства
n- мерные векторы, как упорядоченные наборы из n вещественных чисел, называемых координатами или компонентами векторов, т.е .
Линейное пространство таких n-мерных векторов называют
n-мерным вещественным векторным пространством и обозначают Rn числа xi(i=1,…n)-составляющие вектора,
n- размерность вектора.
Определение. Сумма n- мерных векторов и новый n - мерный вектор , составляющие которого равны суммам соответствующих составляющих складываемых векторов, т.е.
Складывать можно лишь векторы одинаковой размерности
(3:-1;9)+(6;2) – не определена. (6;2) (6;2:0)
Пусть дано m векторов , тогда линейная комбинация этих векторов выглядит так:
Скалярное произведениевекторов и называется число равное сумме парных произведений соответствующих составляющих этих векторов, т.е
Определение. Вещественное векторное пространство в котором введено скалярное произведение, называется Евклидовым пространством