Эксперимент жоспарын жіктеу

 

Эксперимент жоспарларының типтері көбінесе эксперимент типтеріне негізделеді. Экспериментті қайталау мүмкіндігі тұрғысынан олар қалпына келетін, қалпына келмейтін болып бөлінеді.

Қалпына келетін экспериментке эксперимент барысында зерттеу нысанын да, зерттеу құралын да (құралдар, өлшеу жабдықтары) кез келген уақытта бастапқы қалпына келтіруге болатын эксперименттер жатады.

Алайда идеалды қалпына келетін экспериментке нақты мысал келтіру қиын. Шынымен де, кез келген агрегатты, машинаны, мысалы, астық комбайнының соққы аппаратын сынау кезінде біршама уақыт өткен соң комбайнды идеалды бастапқы қалпына келтіру мүмкін болмайды, себебі комбайнда кішкене болса да тозу, брабан астында, өлшеу құралдарында және т.б. қандай да бір тозығулар міндетті түрде орын алады.

Мәселе зерттеу нысаны қалпының өзгеру деңгейіне байланысты. Осыған орай, нысанның бастапқы қалпынан шекті ауытқуын білу немесе негіздеу керек. Егер өзгеріс деңгейіосы шек көлемінде болса, онда эксперимент қалпына келетін, егер бұл шектен шығатын болса, қалпына келмейтін деп аталады.

Осыған байланысты жоспардың екі типі бар: қалпына келетін эксперимент жоспары, қалпына келмейтін эксперимент жоспары.

Жұмыстың негізділігі, нақтылығы және көлеміне байланысты эксперимент жоспары классикалық және рандомизирлі деп бөлінеді.

Классикалық жоспар негізінде фактордың мәніне байланысты төменгі деңгейден бастап, жоғары деңгеймен аяқталатын эксперимент нұсқаларын кезектеп қалыптастыруда жатыр.

Классикалық жоспар өз кезегінде екі типке бөлінеді: бірфакторлы эксперимент жоспары; көпфакторлы эксперимент жоспары.

Бірфакторлы эксперимент мақсат функциясы тек бір ғана аргументке (факторға) байланысты болатын эксперимент, мысалы, қандай да бір топырақ типінің тығыздалуы соқа доңғалағының металл тірегінің қысымына байланысты болады.

Бірфакторлы экспериментті классикалық жоспарлаубастапқыда эксперименттің нұсқасы фактордың төменгі мәнінде, содан кейін белгілі бір дискреттілікпен кезегімен, жоспарға барлық таңдалған факторға, жоғарғысына дейін қалыптасады. Факторлар мәні дискретті, яғни эксперимент жүргізуші анықтаған аралықпен қабылданады. Бұл аралық түрлендіру аралығы деп аталады. Мұндай жоспар кезекті жоспар деп аталады. Кезекті жоспар мақсатты және оны пайдалану қолайлы, мысалы, соқаның тірек доңғалағының кронштейнін оның серпінде деформациясы шегіндетірек доңғалаққа топырақ тарапынан түсетін тең реактивті күш жүктемесімен сынау кезінде осындай жоспарды пайдалану ыңғайлы. Эксперимент нәтижесі бойынша, біріншіден, кронштейннің серпінді деформациясына байланысты қисық тәуелділікті құруға болады, екіншіден, қандай да бір бөлшектің, осы мысалда соқаның тірек доңғалағының кронштейннің беріктік шегі анықталады.

Көпфакторлы эксперимент болып бірнеше аргументке (факторға) байланысты мақсат функциясын зерттейтін эксперимент табылады.

Көпфакторлы экспериментті классикалық жоспарлау нұсқаларды әр фактор бойынша кезектеп қалыптастырудан тұрады. Бұл жерде мақсат фнукицясы тек бір фактор х1 бойынша ғана оның мәнін түрлендіруге таңдалған аралықта өзгереді де, қалған факторлар х2, х3,...хn бекітілген деңгейде реттеледі. Содан кейін екінші факторды х2 түрлендіруге арналған эксперимент нұсқалары қалыптасады да, қалған х1, х3,...хn бекітілген деңгейде реттеледі. Эксперименттердің осы тобының нәтижесі бойынша эксперимент факторы жоспарына енгізілген басқа факторлардың тұрақты мәні кезінде х2 факторына байланысты мақсат функциясы құралады.

Бейнелеп айтқанда, әр фактор бойынша жекелеген эксперименттер нұсқаларының жоспары белгілі бір жағдайда бірфакторлы эксперимент жоспарын білдіреді, ал көпфакторлы эксперименттің классикалық жоспары кезекті бірфакторлы эксперимент жинағы болып табылады.

Эксперимент мақсатына байланысты көпфакторлы жоспар толық және толық емес болуы мүмкін.

Эксперименттің толық емес жоспары фактор мәнінің барлық деңгейі бірдей ескерілмеген жағдайда орын алады. Мәселен, соқаның жер жырту тереңдігіне және агрегат қозғалысының жылдамдығына қатысты тартылыс кедергісін зерттеу кезінде екі факторды да 5 деңгейде түрлендіру қалыптасқан (жер жырту тереңдігі а1 = 10см; а2 = 15 см;… а5 = 30 см; жылдамдық v1 = 1,7 м/c; v2 = 1,9 м/c;…v5=2,8м/с).

Егер жоспар барлық деңгей бойынша жасалмай және сәйкесінше эксперимент те осылай орындалатын болса, (сурет 4.1 а, б) ондай жоспар толық емес деп аталады. 4.1 а графикте тартылыс кедергісі жер жырту тереңдігі мәнінің барлық деңгейінде, алайда агрегат қозғалысының жылдамдығының бір деңгейінде ғана қызмет етеді (v = const = 1,9 м/с). 4.1 б суретте тартылыс кедергісінің жылдамдықтың барлық деңгейіндегі, алайда жер жырту тереңдігі деңгейінің тұрақты мәніндегі қызметінің графигі берілген (а = const = 20 см). Бұл екі график толық емес классикалық жоспар бойынша орындалған эксперимент дерегімен құрылған.

Сурет 4.1 [R=f(a, v)] соқасын толық емес жоспар бойынша v = const (v = 1,9 м/с) кезіндегі жер жырту тереңдігіне а және а = const (а = 25 см) кезіндегі жылдамдыққа v тәуелділікте сынау нәтижелері

 

Толық классикалық жоспар деп зерттеу үдерісі бір уақытта барлық фактор бойынша және олардың мәнін түрлендірудің барлық деңгейінде қызмет ететін жоспар аталады. 4.2 суретте R соқасының тартылыс кедергісіеің бір мезгілде жер жырту тереңдігі а және агрегат қозғалысының жылдамдығы v бойынша барлық жоспарлы деңгейде қызмет ету графигі берілген (а = 10…30 см; v = 1,7…2,8 см).

Сурет 4.2 [R=f(a, v)] соқасын толық жоспар бойынша а жер жырту тереңдігіне және v жылдамдыққа тәуелділікте сынау нәтижелері:

а) қозғалыс жылдамдығы 1 – 1,7 м/с; 2 – 1,9 м/с; 3 – 2,2 м/с; 4 – 2,5 м/с; 5 – 2,8 м/с кезінде;

б) жер жырту тереңдігі 1 – 10 см; 2 – 15см; 3 – 20 см; 4 – 25 см; 5 – 30 см кезінде.

 

Егер жоспардағы әр фактор деңгейінің саны бірдей болса (келтірілген мысалда жер жырту тереңдігі мен жылдамдық бес деңгейде түрленеді: тереңдік а – 10 см, 15 см, 20 см, 25 см, 30 см; жылдамдық v – 1,7 м/с, 1,9 м/с, 2,2 м/с, 2,5 м/с және 2,8 м/с) ондай жоспар теңестірілген жоспар деп аталады. Егер эксперимент жоспарында оған енгізілген факторлар деңгейдің тең санымен түрленбейтін болса (мәселен, жер жырту тереңдігі 5 деңгейде, ал агрегат қозғалысының жылдамдығы 7 деңгейде), онда мұндай жоспар және сәйкесінше эксперимент теңестірілмеген деп аталады.

Толық көпфакторлы классикалық жоспар тек қалпына келетін эксперимент үшін құрылады, себебі оны жүргізу кезінде әр фактор өзінің бастапқы деңгейіне қайта оралуы керек. Берілген мысалда әр фактор өзінің бастапқы қалпына бес рет қайта оралады (әр деңгейде қайталау санын қоспағанда). Толық жоспар теңестірілген жоспар болу міндетті емес, әсері барынша нақты, терең зерттелетін фактор үшін деңгейдің түрлі санында түрленетін, факторлы жоспар жеткілікті.

Классикалық жоспарлар, сондықтан да классикалық эксперименттер бірқатар айтарлықтай кемшіліктерге ие. Алайда бірқатар артықшылықтарының болуына байланысты (жоспар мен әдістеменің қарапайымдылығы және эксперимент режимін кезектестіру мүмкіндігі, қателіктерді қадағалап отырудың жоғары деңгейі), жоспардың бұл түрі өте кең таралған.

Эксперименттің рандомизирлі жоспары (классикалық емес) факторлар деңгейі өсу (не кему) ретімен іріктелген кезекпен емес, кездейсоқ орналасқан жоспар. Жоспарлаудың мұндай әдісі эксперименттің бақылаушы және қоздырушы факторлар әсерінен болатын жүйелік қателігін төмендетуге негізделген. Мәселен, комбайнның уатқыш аппаратымен астықты уату сапасын барабан мен деко арасындағы саңылауға қатысты зерттеу кезінде. Негізгі фактордан (саңылаудан) басқаауа лығалдылығы, сондықтан да уатылған нан көлемі факторы да әсер етеді. Классикалық эксперимент кезінде саңылаудың өзгерісі өсу ретімен іріктелген кезекпен және уақытпен жоспарланғанда, уату сапасы саңылаудан ғана емес, ауа райының жағдайынан да өзгереді, бұл сынақтың қателігін арттырады.

Рандомизирлі (кездейсоқ) жоспарда саңылау жұмыс уақыты бойында тек өсу ретімен ғана емес, кездейсоқ та өзгеріп отырады. Бұл бақыланбайтын факторларды (ауа райы, ылғалдылық) эксперимент бойында барынша тең орналастыруға мүмкіндік береді және нәтижесі – уату сапасы – барынша объективті болады.

Мысалы, егер саңылау өзгерісін қатаң кезекпен: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21 мм жоспарлап жәнеоны таңертеңнен орналастыратын болса, уату сапасына тек саңылаудың өсуі ғана емес, нан көлеміің құрғауы (сағат 12-де астық ылғалдылығы мүлдем басқаша болады) да әсер етеді, бұл, әрине, сынақтың дұрыстығына кері әсерін тигізеді.

Егер фактор деңгейін өсу кезегімен емес, кездейсоқ тәртіппен орналастырар болса (мысалы, 21; 3; 18; 9; 12; 6; 15), ылғалдылықтың өзгеруі (массаның құрғауы) саңылаудың ұлғаюымен сәйкес келмей, оның барлық мәніне тең орналасады, бұл ылғалдылықтың эксперимент нәтижесіне кері әсерін айтарлықтай төмендетеді.

Рандомизирлі жоспарды құру белгілі бір ережеге бағынуы керек. Ең алдымен, деңгей ретінде толықтай кездейсоқтық болмауы керек. Олай етпесе, таңертең тек үлкен саңылаулар болып, түске қарай тек кішілері қалуы мүмкін, бұл да эксперимент шартын оңтайландырмайды. Сәйкесінше, толық кездейсоқтыққа шек қойылады, блокты кездейсоқ жоспар құрылады. Біздің мысалымызда жұмыс уақыты бірнеше кезеңге бөлінеді, мәселен, 5-тен 7-ге дейін; 7-ден 9-ға дейін; 9-дан 11-ге дейін; 11-ден 13-ке дейін. Әр уақыт кезеңінде ылғалдылық әртүрлі болғанда, фактор деңгейінің блоктары шамамен тең дәрежеде болуы керек, мысалы, 21; 3 және 18; 9 және 12; 6 және 15.

Кездейсоқ жоспардың келтірілген мысалы қарапайым – бір факторлы. Кездейсоқтық теориясының негізгі ережелері сақталып, екі және одан да көп факторлармен қызмет ететін үдерістерді зерттеуге арналған толық факторлы кездейсоқ жоспар жасалады.

Ғылымда кең тараған блокты кездейсоқ жоспар нұсқаларының бірі болып латын немесе грек-латын шаршысы типті жоспар табылады. А, Б, В, Г факторларына байланысты үдерісті (құбылысты) зерттеу бойынша эксперимент жоспары жалпы канондық формада «шаршы» түрінде берілуі мүмкін:

 

А Б В Г
Б В Г А
В Г А Б
Г А Б В

 

Құрылған сызбаны талдау кезінде канондық латын шаршысының қалыптасуы келесі ретке бағынатыны байқалды: бірінші жол мен сол бағанда факторлар әріптердің әліпбилік ретімен жазылады, келесі жолдар мен бағандар факторларды (әріп, белгі, санды) бірқадамды кезекпен орналастыру жолымен қалыптасады. Латын шаршысында эксперимент жоспары әрқашан реттелген болады, яғни, екі фактор да бірдей көлемде түрленеді, олай болмаса, шаршы қалыптаспас еді. Латын шаршысы nm типті толық емес факторлы эксперимент жоспарын қалыптастырады, мұндағы n – фактор деңгейінің саны, m – фактор саны.

Жүк тасу кезінде жүргізушінің шаршауы деңгейін зерттеу кезінде, мысалы, шаршау көп жағдайда жұмыс ауысымының ұзақтығына, жүргізушінің жасына, сондай-ақ әр шаруашылықта әртүрлі болатын ұйымдастыру-қызмет көрсету факторына байланысты болатыны анықталған.

Жұмыс уақытын Т белгісімен, жүргізуші жасын – В, шаруашылықтардың ұйымдастыру көрсеткіші бойынша ерекшелік факторын – х белгісімен бейнелейік (эксперимент үшін зерттеу аймағына, ауданына және т.б. тән үш түрлі шаруашылық жүргізушілерін аламыз: х1; х2; х3).

Осыған ұқсас зерттеулердің классикалық әдістемесіне байланысты, әдетте, әр шаруашылықтан 12 адам, барлығы 36 адам алынады. Бұл жүргізушілер 3 жас тобына бөлінген: В1; В2; В3. Жұмыс уақыты да осындай үш топқа түрленеді: Т1; Т2; Т3. 3х3 латын шаршысы типті эксперимент жоспары келесідей болады (кесте 4.1):

Кесте 4.1

Жоспар
Жұмыс ұзақтығы Шаруашылық
Х1 Х2 Х3
Т2 В3 В1 В2
Т1 В2 В3 В1
Т3 В1 В2 В3

 

Әр нұсқаны, сынақты төрт рет қайталау және жүргізушінің шаршауын 12 балмен бағалау кезінде 4.1 кестеге сай латын шаршысы жоспарымен орындалған эксперимент нәтижесін келесі түрде беруге болады (кесте 4.2).

 

 

Кесте 4.2 – үш жас тобындағы жүргізушілердің шаршауы (4.1 кестедегі жоспарға сай зерттеу)

 

 

 

4.1 кестеде көрсетілгендей, кездейсоқтық шектеумен жүргізілген, оыған орай, әр деңгейде әр фактор басқа фактордың басқа деңгейміне бір рет қана кездеседі. Осының нәтижесінде факторлар комбинациясының жалпы саны, және сәйкесінше эксперимент нұсқалары да – тоғыз (Х1В3Т2; Х1В1Т3; Х2В1Т2; Х2В3Т1; Х2В2Т3; Х3В2Т2; Х3В1Т1; Х3В3Т3). Сөйтіп, шектеулі кездейсоқтық толық емес факторлы экспериментті жоспарлап, орындауға мүмкіндік береді. Толық эксперимент кезінде факторлар комбинациясының саны 3 есеге көп болар еді (33= 27).

Сынақты төрт рет қайталау кезіндегі сынақ саны 36-ны құрайды (кесте 4.2). классикалық жоспар, кем дегенде, 108 сынақты бере еді, себебі ол жағдайда жүргізушілерге әр жас деңгейінде жұмыс уақыты ұзақтығының әр деңгейінде кемінде бір рет жұмыс істеуге тура келер еді.

Латын шаршысы әдісімен жоспарлау эксперимент кезінде еңбек және уақыт шығынын қысқартып қана қоймай, нашар бақыланатын (немаесе бақыланбайтын) факторлар орын алған үдерістерді зерттеуде қателіктерді азайтуға негіз болады.

Алайда, аталған әдістің даусыз артықшылықтарымен бірге, маңызды кемшіліктері де бар екенін мойындау керек, олардың бастысы – латын шаршысы әдісімен экспериментті жоспарлау тек зерттеу үдерісінде факторлардың қосарланып әсер етуі болмаған жағдайда ғана қолданылады.

 

Көпфакторлы экспериментті оңтайлы жоспарлау.

Зерттеушілермен шешілетін міндеттердің барлығы екі топқа біріктіріледі:

- нысан және фактор параметрлері арасындағы байланысты анықтау. Бұл топтың міндеттерін интерполяционды деп атайды.

- зерттеу нысаны параметрлері оңтайландыру, яғни, нақты жағдайда параметрлер мәнінің ең қолайлы үйлесуін анықтау. Бұл топтың міндеттерін экстремалды деп атайды.

Көпфакторлы экспериментті оңтайлы жоспарлау – оңтайландырудың алға қойған міндетін шешуге қажетті және жеткілікті сынақтарды жүргізу шарты мен санын анықтау тәсілі. Мұндай жоспарлау диалогтық режимдегідей (эксперименттің әр кезеңінде негізделген шешім жасау мүмкіндігі) эксперимент жүргізу үдерісінің қадамдық сызбасын анықтау мүмкіндігіне, барлық факторларды бір уақытта түрлендіру кезінде зерттеу нақтылығы деңгейін төмендетпей, экспериментке сынақтың ең аз санын енгізуге негіз болады. Көпфакторлы экспериментте фактор сөзімен зерттеу үдерісінің қандай да бір параметрінің (параметрлерінің) мәніне әсер ететін ауыспалы шамалар түсініледі. Экспериментті жоспарлау кезінде сынақта түрленетін шама мәні деңгей деп аталады.

Көпфакторлы экспериментті оңтайлы жоспарлаудың бірқатар артықшылықтары бар:

- басқа факторлардың өзгермеуі кезінде әр фактордың зерттеліп отырған параметріне әсерін жеке-жеке зерттелетін классикалық бірфакторлы әдіске қарағанда сынақ санының аздығы;

- зерттеу нәтижесін математикалық үлгі түрінде ұсыну мүмкіндігі;

- факторлар қызметінің нұсқаларын оңтайландыру мүмкіндігі.

Экспериментті заманауи жоспарлау кезінде экстремалды көпфакторлы экспериментті оңтайлы жоспарлау – экспериментті зерттеудің негізгі әдістерінің бірі, осыған орай, аталған мәселені барынша жан-жақты қарастыру қажеттігі туындайды, сондықтан да келесі тараушаны осы мәселеге арнаймыз.

 

6.4 Көпфакторлы экстремалды экспериментті оңтайлы жоспарлау

 

Экспериментті жоспарлау дегенде, бұл жерде, ең алдымен, сөздің жалпы мағынасындағы, эксперименттің қандай да бір кезеңін орындауды қарастыратын ұйымдастыру операцияларын жоспарлау емес, ал түрлі басқарылатын үдерістердің математикалық үлгілерін құру және зерттеуді орындауға қажетті еңбек, уақыт, қаржы шығынын азайту кезінде факторлардың қызметі нұсқаларын оңтайландыру әдісін қарастыру түсіндіріледі.

Белгілі бір жоспар бойынша зерттелетін барлық факторлардың өзара әрекетін ескере отырып, өзгеруін қарастыратын эксперименттің математикалық теориясы – бұл оңтайлы шешім алу мақсатында ЭЕМ мен бағдарламалық қамсыздандыруды қолданумен зерттеуге сапалы жаңа көзқарас.

Зерттеудің мұндай әдісі нәтиженің жоғары нақтылығын, сынақ көлемінің азаюын негіздейді. Әдетте, зерттеу үдерісінің үлгісі коэффициенттері арнайы әдістемемен анықталатын регрессия теңдеуімен, ал олардың оңтайлы шешімі градиентті және градиентсіз әдістермен, мәселен, тік көтерілу жолымен, симплекс әдісімен т.б. сипатталады.

Төменде экспериментті факторлы жоспарлаудың негізгі анықтамасы, мәні мен міндеттері; толық факторлы және бөлшекті факторлы эксперимент көмегімен зерттеу үдерісінің үлгісін құру тәртібі; фактордың сызықты емес шаршы типі есебімен үлгі құру ерекшеліктері; тік көтерілу әдісімен эксперимент жүргізу; экспериментті деректерді есептеу және бағалауға арналған бірқатар формулалар қарастырылады.

Экстремалды міндеттерді шешу бірнеше кезеңде жүзеге асырылады:

1. Ең алдымен, зерттеу нысанын алдын ала зерттеу, зерттеу барысында факторларды априорлы іріктеу жүргізіледі, немесе оны әдеби тілде басқаша «психологиялық эксперимент» деп атайды,сондай-ақ эксперименттер сериясы қойылады, олардың нәтижелерін өңдегеннен кейін факторлардың оңтайландыру параметріне (параметрлеріне) әсерінің дәрежесі туралы болжалды түсінік алынады. Осы зерттеу нәтижесі болып факторлар жігін зерттеу және кейбір аз маңызды факторларды есептен шығару табылады.

2. Келесі кезең – оптимум аймағындағы қозғалыс. Бұл жерде алдымен, аз көлемді сынақтың көмегімен одан арғы экспериментті жүргізетін дұрыс бағыт табылады. Ең қысқа жолмен жүру арқылы оптимум аймағы табылады. Бұл эксперименттер нәтижесі бірінші реттегі регрессия теңдеуімен беріледі.

3. Келесі кезең – алдында табылған оптимум аймағын математикалық (графикалық) сипаттау. Бұл кезең барысында отклик бетін (фнукциясын) сипаттауға арналған сынақтар сериясы, әдетте, екінші реттегі полином қойылады.

4. Алдында айтылғандай, зерттеу «диалогтық» режимде жүргізіледі - зерттеудің әр кезеңін өткізгеннен кейін оның нәтижесіне байланысты экспериментарлы зерттеудің жаңа «стратегиясы» таңдалады, осыған орай, ір кезең сайын эксперимент нәтижелерін мұқият аналитикалық өңдеу жұмысы жүргізіледі.

5. Бірінші немесе екінші реттегі регрессия теңдеуімен ұсынылған математикалық үлгіні алғаннан кейін зерттеу нысанындағы факторлардың сәйкестігінің оңтайлы нұсқасын алу мақсатында, таңдалған ыактор бойынша зерттеу нысанының оңтайлы қызметінің режимін табу мақсатында экстремумға талдау жасалады.

Барлығын рет-ретімен қарастырайық. Мәселен, соқа жұмысын зерттейік. Соқаның күшті көрсеткішін сипаттайтын бастапқы параметр ретінде оның бір сызықты бірліктергі, мәселен, метр қармауышының енінен тартылыс кедергісін Ү қабылдайық. Соқаның тартылыс кедергісіне әсер ететін бастапқы шама ретінде: жер жырту тереңдігін х1; үлесті кедергі коэффициентімен сипатталып, ұсынылатын топырақтың қасиеті мен жағдайын х2; агрегат қозғалысының тереңдігін х3; соқа салмағын х4; агрегат қозғалысының бірдейлігін х5; жел бағыты мен жылдамдығын х6; түрен ұшының қалыңдығын х7 таңдаймыз.

х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7 бастапқы шамалар фактор деп аталады. Ү бастапқы шамасы (соқаның оның қармауышы енінің бір бірлігіне тартылыс кедергісі) шешілетін міндет мақсаты мен шартына байланысты мақсат функциясы, отклик, отклик функциясы, оңтайландыру параметрі деп аталады.

Сөйтіп, факторлардың белгісіз функциясы К болып табылатын бастапқы шаманы Ү анықтау керек, басқаша айтқанда, х1 факторының К бойынша соқаның кедергісі үдерісінің қызметінің заңын анықтау керек:

Факторлардың қол жетімді мәндерінің аймағы анықтау аймағы немесе қызмет кеңістігі деп аталады да, W-мен белгіленеді. Х1 және х2 факторлары бойынша анықтау аймағы Wекіфакторлы кеңістік деп, үш фактор бойынша анықтау аймағы үшфакторлы кеңістік деп т.с.с. аталады, ал эксперимент екі-, үш- және т.б. факторлы эксперимент деп аталады. Отклик функциясына факторлар әсері заңдылығын анықтау жөніндегі эксперимент интерполяционды немесе регрессиялы деп аталады.

Wі эксперименттің әр і саласы бойынша төрт (Wі саласы шыңының саны бойынша) сынақ жүргізіледі және олардың әрқайсысы тек екі мән қабылдайды, оларды шартты түрде 0 және 1 немесе -1 және +1 деп белгілейді. Факторлардың бұндай мәндері фактор деңгейлері деп аталады.

Х2 абсцисса және х1 аппликата бойынша (сурет 4.3) факторлардың төменгі (-1) және жоғарғы (+1) деңгейлері берілген. Х1 және х2 факторларының х1 0 х2 кеңістігіндегі мәні екі деңгейде де нүктемен белгіленген: 1.1; 1.2; 1.3 және 1.4. екі фактордың екі деңгейде сәйкес келуі сынақ санын анықтайды, N=nk, мұндағы n – деңгей саны; k – фактор саны. Біздің мысалда N=nk=22=4. Факторлардың әр деңгейде олардың түрлернуімен сәйкес келетін әр сынақ Ү отклигінің бір мәнін анықтайды, нәтижесінде Ү1 мәнінің саны анықталады. Біздің мысалда Ү11, Ү12, Ү13, Ү14 нүктелерімен шектелген фигура бет түрінде беріліп, отклик беті деп аталады. Үшфакторлы (х1; х2; х3) экспериментті жүргізу кезінде w анықтау саласы параллелепипед немесе текше түрінде беріледі, оның биіктігі N=23=8-ге тең, ал k – факторлы эксперимент кезінде w анықтау саласы гипертекше түрінде болып, N=2k биіктігін көрсетеді, олардың әрқайсысы Үотклик мәнін анықтау бойынша 1 тәжірибені жүргізу қажеттілігіне негізделеді.

Сурет 4.3 – Екіфакторлы эксперимент «сызбасы және y=f(x1x2) отклик функциясы

 

Эксперимент міндетіне байланысты N=2k тәжірибесі үнемі жүргізіле бермейді, бұл кезде факторлар екі деңгейде емес, үш деңгейде түрленеді.

Жоспарлау факторларды таңдау, олардың отклик функциясына әсерін анықтау, басқарылатын және басқарылмайтын факторларды анықтау, тәуелді және тәуелсіз факторларды шектеу, аппаратураның нақтылығын анықтау және таңдау жұмыстарынан тұрады.

Таңдалған, іріктелген, сұрыпталғаннан кейін қалған факторлар отклик өлшемінің нақтылығынан жоғары нақтылықпен өлшенетін болуы керек. Факторлар сәйкес келетін және тәуелсіз шамалар болуы керек.

Сәйкес келетін факторлар дегенде барлық жоспарланған факторлар комбинациясының қауіпсіздігімен іске асырылымдылығы (электронды аппаратураны зерттеу кезінде ток пен кедергі шамалары таратылатын қуат пен элемент температурасы шекті шамадан аспайтындай шамада болуы керек), ал тәуелсіз фактор дегенде факторды басқа факторлардың деңгейіне тәуелсіз кез келген деңгейге қою мүмкіндігі түсініледі. Өзара тәуелділік кезінде осы 2 факторды үйлестіретін басқа фактор таңдалуы керек.

Әрбір эксперимент үшін факторлардың түрлену аралығы таңдалады. Түрлену аралығы- экспериментатормен таңдалған факторлардың жоғарғы және төменгі мағыналарының арасындағы айырмашылықтың жартысы.

Сараптау саласының орталығында фактордың мағынасы оны түрлендірудің негізгі деңгейі болып аталады және негізгі индекспен белгіленеді, мысалы, «х1» мәтін астылық индекспен «0» (х1.0.;х2.0;....).

Түрлендіру деңгейінің санын және олардың шекараларын орналастыру кезінде қандай да бір қатаң ұсыныстар мен шектеуліктер жоқ, бірақ та, келесі ережелерге сүйену керек: физикалық факторды түрлендіру аралығы оның мәні тәртіп бойынша эксперименттік қондырғының және оның өлшемінің кемшіліктерінен асып түсу керек; эксперименттің кез-келген саласының басы W факторларды анықтау саласының Ώ ішінде болу керек; аппроксимириялық функциялар ізделетін тәуелділіктен аса қатты ерекшеленбеу керек, (математикалық үлгінің баламалығының талабы); тәжірибеден тәжірибеге ауысар кезде дыбыс мағынасының өзгеруі, ол ең аз дегенде тәжірибе кемшілігінен 2...3 есе жоғары болу керек.

Жоспарлау үрдісінде әдетте факторлардың кодталған мәндері қолданылады, олар жолдың символдармен белгіленеді. Факторлардың физикалық мәндері үлкен символдармен белгіленеді Х12.....

Кодталған х1 және факторлардың физикалық мәндері Х1 өзара келесі түрде байланысады:

мұнда: - фактордың түрлену аралығы;

хіж; хіт- J- фактордың төменгі және жоғарғы деңгейлеріне сәйкес;

кодталған факторлар көлеммен нормаланған, экспериментте -1;0;+1 (үш деңгейлі түрленуде) мағынасын қолданатын мөлшерсіз болып табылады.

Дыбыс беру функциясының геометриялық образы (4.1.) факторлық кеңістіктегі дыбыс берудің жоғарғы қабаты деп аталады, ол келесі түрлі бірінші ретті полиноммен жуықталады:

Немесе келеі түрлі екінші ретті полиноммен жуықталады:

Бұл жағдайда эксперименттің мақсаты регрессия b0; bі; bі?; bii коэффициенттері есептелетін мәліметтерді алу болып табылады және бұл жағдайда теңестіру келесі түрде болады:

мұнда-У- арналған таңдамалы баға;

Толық факторлы эксперимент- фактор деңгейлерінің барлық мүмкін комбинациялары өткізілетін эксперимент.

Егер К фактор болса, мысалы, үш екі деңгейге түрленсе, онда тәжірибенің барлық мүмкін нұсқаларының саны N2=2к=23=8,

Егер үш деңгейде болса, онда N3=3к=33=27.

Ереже бойынша экспериментті жоспарлау кезінде фактордың төменгі шекарасын -1 белгісімен, ал жоғарысын+1 белгісімен белгілеу шартты түрде қабылданды.

Екі факторлы экспериментте толық факторлы эксперименттің барлық комбинациялары квадрат ұштарымен графикалық түрде ұсынылады (4.4. сурет).

 

 

4.4. сурет

А және В факторлары немесе х1с және х2 төменгі деңгейде (1)= А0В0 немесе кіші әріптермен (1)=а0b0. Бұл жағдайларда символдар астында (1) төменгі деңгейде екі факторлы тәжірибеде дыбыс беру мағынасы беріледі.

В факторды жоғарғыда, ал А факторды төменгі деңгейде түрлендіру тәжірибесінде жоспарда А0В немесе а0b=в символдарымен белгіленеді; А жоғарғы, В төменгі деңгейде белгіленсе а= А1В0 немесе а1b0=а, және соңында, А және В жоғарғы деңгейде орналасса аb= А1В1 немесе аb=а1b1 (4.4. сурет).

Толық факторлық эксперименттің тәжірибесінің барлық нұсқалары матрица түрінде ұсынуға болады (4.3. кесте).

 

4.3. кесте. Екі факторлы экспериментті жоспарлау матрицасы

 

Тәжірибе факторлар деңгейі және олардың өзара әрекеттесуі Жолдардың кодтық белгілері Жауап беру
А (х1) В (х2) АВ (х1х2)   Ү14 Ү24 Ү14
- - + (1) Ү11 Ү21 Ү?1
+ - - а Ү12 Ү22 Ү?2
- + - b Ү13 Ү23 Ү?3
+ + + аb Ү14 Ү24 Ү?4

 

 

Арнайы жоспарлаудың бірінде фактор көздері латынның бас әрпімен АВС және т.б., ал келесіде х1; х2 х3 және т.б.ж белгіленуіне байланысты осы оқулықта екі символда қолданылған- біреуі жақша ішінде, ары қарай ол жойылады.

Бірінші графада тәжірибелер номерлері көрсетілген (қайталанусыз).

Екінші және үшінші графаларда екі фактордың барлық деңгейлердегі барлық нұсқалары көрсетілген. Төртінші графа екі фактордың өзара байланысы кезінде тәжірибелер нұсқасынан қалыптасады, ол көбейту жолымен АхВ алынады. Бесінші графада жолдардың кодтары берілген. Алтыншы, жетінші және қалған графаларда нұсқа және жоғарғы қабаттар бойынша жазылады.

Егер әрбір тәжірибе (жол) бір қайталамада жүргізілсе, онда тек қана бір графа ғана толтырылады (Ү11; Ү12; Ү13; Ү14). Екінші қайталама кезінде дыбыс беру Ү21;Ү22;Ү23;Ү24 және т.б. болып белгіленеді.

АВ (х1х2) факторлардың өзара байланысы екі фактордың бірдей деңгейге өзгерісі дыбыс берудің пропорционалды емес өзгерісімен сүйемелденетіні кезінде байқалады. Мысалы, суглинокты және құмдақ топырақтардың дымқылдығының бірдей өзгерісі кезінде топырақ өңдеуші жұмыс құралдарының топырақты қабуы да бірдей өзгереді.

А,В,С үш тәуелсіз фактормен толық факторлы эксперимент жоспарын құру үшін үш фактордан барлық мүмкін болатын әр комбинация 2 деңгейде (±1) түрленетін комбинацияларды (тәжірибелерді) құру керек. Бұл 23 типті эксперимент жоспары болады.

Бұл эксперимент моделін графикалық түрде үш факторлы кеңістік – текше түрінде беруге болады. Олардың әр басы сынақ нұсқаларының бірін білдіреді, ал ондай нұсқа саны сегіз (4.5 а сурет).

Сынақтың әр нұсқасының кіші латын әрпімен берілген кодтық мәні бар, нұсқалар әртүрлі, мәселен, авс жазуы А, В, және С факторы жоғары деңгейде болатын тәжірибені (эксперимент нұсқасын) білдіреді, вс – А факторлы төмен деңгейде, а – В және С жоғары деңгейде. а, в, с бір әріп жазбалары сәйкесінше А, В, және жоғары деңгейде, қалған екеуі төменгі деңгейде болатын факторды білдіреді. Мұндай эксперимент жоспарын матрица түрінде беруге болады (4.4 кесте).

4.5 а сурет 23 типті үшфакторлы эксперимент үлгісінің графикалық бейнесі

 

Кесте 4.4 – Үшфакторлы экспериментті жоспарлау матрицасы

Сынақ № Факторлар деңгейі және олардың өзара әсері Жолдың кодтық белгісі
А (х1) В (х2) С (х3) АВ (х1х2) АС (х1х3) ВС (х2х3) АВС (х1х2х3)
- - - + + + - (1)
+ - - - - + + а
- + - - + - + в
+ + - + - - - ав
- - + + - - + с
+ - + - + - - ас
- + + - - + - вс
+ + + + + + + авс

 

Бұл жоспар екіфакторлыдан төртінші бағанға үшінші фактор деңгейінің нұсқасының орналасуымен ерекшеленеді, ал бұл өз кезегінде екі қос өзара әсерді (6 және 7 баған) және бір АВС үштіктің өзара әсерін (8 баған) талап етті. 9 бағанда кодтық белгілер көмегімен сынақтың барлық сегіз нұсқасы берілген: (1), а, в, ав, с, ас, вс, авс.

23 типі бойынша толық факторлы эксперимент (ТФЭ) матрицасы келесі жолмен құрылады: алдымен 23 типті ТФЭ матрицасы құрылады (1, 2, 3, 5 бағандар), сосын үшінші фактор (4-баған) жазылады және содан кейңн ол (с) келесі факторлардың (С, АС, ВС; АВС) барлығына көбейтіледі де, 6, 7 және 8 бағанға жазылады. 4.4 кестесін мұқият қарасақ, 1, 2, 3 және 5 бағандары бойынша алғашқы төрт жол (1, 2, 3, 4) С факторының барлық төменгі деңгейі кезінде 22 типті екі факторлы эксперимент матрицасын білдіреді, 4.4 кестенің басқа бағандарында (5, 6, 7, 8 жолдары) 22 матрицасы С факторының барлық жоғары (+) деңгейі кезінде қайталанады.

6, 7, 8 бағандары С факторын сәйкес бағандағы факторға көбейту нәтижесінде пайда болады, мысалы, 6-бағанның бірінші жолына (-С) мен (-А) көбейту кезіндегі нәтиже ретінде (+) қоямыз, екінші жолда (+А) және (-С) көбейту нәтижесінде алынған (-) белгісі жазылады т.с.с.

Факторлардың кез келген саны үшін толық факторлы эксперимент жоспары осыған ұқсас жолмен құрылады. Төрт факторлы эксперимент (А, В, С, Д) жоспарының матрицасы үшфакторлы эксперимент матрицасының екінші ретін қайталануынан тұрады: біріншісі – Д төртінші фактордың төмен деңгейі кезіндегі, екіншісі – жоғары деңгейі кезіндегі қайталау.

Модель коэффициентін анықтау [22] бойынша баяндалады. Регрессия коэффициенттерді матрицалық алгебра әдістерімен есептеу ыңғайлы болуы үшін жалған ауыспалы х0 = +1 енгізіледі. Сонда қарапайым екі факторлы сызық моделінің теңдеуін бағалау (4.5) мына түрде болады:

 

 

Ал экспериментті жоспарлау матрицасы, мәселен, 22 типі бойынша 4.5 кестеде берілгендей болады.

Кесте 4.5 – х0 = +1 жалған ауыспалымен екі факторлы эксперимент матрицасы

 

Сынақ № Ауыспалылар (факторлар) деңгейі Отклик Уи
Х0 Х1 Х2
+ - - У1
+ + - У2
+ - + У3
+ + + У4

 

Фактордың кез келген саны мен (23,24...) эксперимент үшін х0 = +1 жалған ауыспалымен жоспар (матрица) осыған ұқсас жолмен құрылады. b1 коэффициентін анықтаудың түрлі әдістері бар, ең қарапайым түрі – ең аз квадрат әдісі (АКӘ). b1 іздеу үдерісі регрессивті талдау деп аталады. Бұл кезде қағидалы түрде қателіктер жіберіледі, мәселен, барлық тәуелсіз ауыспалы факторлар нақты беріліп, кездейсоқ шама болып табылмайды, ал Уп кездейсоқ шамасы нормалы заңға бағынады, Уп дисперсиясы факторлы кеңістіктің жеке нүктесінде бірдей. Бұл шарттар орындалмайтын үдерістерді зерттеу кезінде АКӘ қолданылмайды, басқа әдістерді қолдану керек [1,28]. Регрессия коэффициентін анықтау келесідей орындалады. Мәселен, нәтижесі 4.6 матрицалық кесте түрінде берілген матрицаға сай эксперимент орындалды. Тапсырма У1, У2, У3, У4 откликтің төрт нүктесі арқылы жазықтық құрудан тұрады. Үш өлшемді кеңістіктегі жазықтықтың орналасуы бір түзуде жатпайтын үш нүктемен анықталатыны белгілі, осыған орай қосымша шарт қажет: ізделіп отырған жазықтықтан нүктелердің ауытқу квадратының саны минимум болуы керек.

 

4.6. кесте. Екі факторлы зерттеме нәтижелері мен жоспары

Тәжірибе № Факторлар деңгейінің мәні Нәтиже
  Х0 Х1 Х2 Уи
Х01 Х11 Х21 У1
Х02 Х12 Х22 У2
Х03 Х13 Х23 У3
       

 

Бұл ауытқулар:

Ауытқулардың саны ▲уи тәжiрибелер немесе жолдардың санына тең (U=1,2,3,4). Қабылданған шарттарға сәйкес b0, b1, b2 коэффициенттерін ▲уи ауытқуы абсолюттік шамасы бойынша аз болатындай етіп таңдау керек.

Регрессия коэффициенттері келесі шарт бойынша анықталса ең төменгі квадраттар тәсіліне сәйкес, ауытқу квадраттары сомасы Σ▲уп ең төмен:

 

4.6. кестедегі мәліметтерді есепке ала отырып (4.9.) мәні келесідей болады:

 

Сондықтан, регрессия коэффициенттерін анықтау тапсырмасы

Демек, регрессия коэффициенттердi анықтаудың есебi функцияның минимумының Ĵ (b) iздеп табуына келесі шарттардың (бiздiң мысалда үш: b0, b1, b2) айнымалыларына апарады:

 

4.6. кесте мәліметтерін қолдана отырып, бұл шарттарды жазуға болады:

Қарапайым түрлену жолымен (4.12) қалыпты теңеу жүйесін алуға болады:

Есептеуіш процедураны жеңілдету үшін сараптаманы жоспарлау үшін анықтағыш нөлден айрықшалануын қарастыру керек (4.13).

Толық факторлы тәжiрибенiң құндылығы тек қана тәжірибе жоспары матрица рототабельдік, симметриялық, нормалау және ортогональность қасиеттерге ие болатындай қалыпта құрылғанда ғана көрінеді.

Ротатабельдік қасиет тең қашықтықтардың жоспардың ортасынан үн қосудың болжалған мәндерiнiң дисперсиясы тұрақты және ең төменгi болғандығында.

Симметрия қасиеті -кез-келген нақты фактор элементтерінің алгебралық сомасы нөлге тең немесе әрбір ауыспалы оң және теріс мәндердің баланс шарттары нөлге тең (4.14):

 

Нормалау қасиеті кез келген баған элементтерінің квадраты қосындысы түрлі сынақ санына тең болатынымен көрінеді – n жолы:

 

Ортогоналдылық қасиеті кез келген екі баған элементтерінің жолдық туындысының қосындысы нөлге тең болумен сипатталады:

 

Мұндағы i және j – баған нөмері немесе фактор нөмері;

и – жол факторларын жинау нұсқасының нөмері;

п – сынақ (матрица жолдарының) нұсқасының жалпы саны.

Осы қасиеттердің және х = +1 есебінен (4.13) жүйе теңдеудің сол бөлігінде барлық аралас туынды суммасы нөлге тең, ал фактор квадратының әр суммасы сынақ санына тең (біздің мысалда 4-ке) болатын түрді иеленеді:

 

Теңдеу жүйесін регрессия коэффициетіне қатысты шешіп, b1 анықтамасы бойынша жалпы теңдеуді аламыз:

 

Нақты жағдайда екіфакторлы эксперимент мысалы үшін регрессия коэффициенті мынаған тең:

 

Уи оңтайландыру критерийінің мәні бұл тәуелділіктерде и сынағының қайталануында і орташа мәнін білдіреді.

Жоғарыда факторлардың өзара әрекет әсерінсіз толық факторлы эксперимент мыналы қарастырылды – сызықты үлгі алынды.

Факторлар туындысы типті отклик бетінің (регрессия теңдеуі) сызықсыздығы.

Факторлардың қос өзара әсері орын алатын зерттеу үдерісі сызықсыз үлгімен сипатталады. Факторлардың қос өзара әрекетіне негізделген үлгінің сызықсыздығы факторлар туындысы (бірінші қатар әсері) немесе факторлар квадртаы болып табылатын регрессия теңдеуінің қосымша құрамымен есептеледі.

Факторлардың туындысы типіндегі сызықсыз үлгі төмендегі түрде берілуі мүмкін:

 

 

Факторлардың қос өзара әсері бір фактордың у отклигіне (шығыс шамасына) әсері заңдылығы екінші фактордың өзгерісіне тәуелді болғанда орын алады.

Осыған орай, (4.19) сызықсыздығы жағдайында симметрия (4.14), нормалау (4.15) және ортогоналдылық (4.16) шарттарын қанағаттандыратын, х1 және х2 факторларының өзара әсерінің туынды бағаны пайда болуы мүмкін, өзара әсер коэффициентін де (4.18) формуласымен анықтайды. B3 арқылы b12 өзара әсер коэффициентін белгілеп, ал х1х23 болса, (4.20) үлгі мына түрге ие болады:

х31х2 болғандықтан, ауыспалыны түрлендіру деңгейінің мәні х1 және х2 параметрлерін көбейту жолымен алынады (4.7 кесте 7-баған): Сондықтан

 

 

Соқаның тарту кедергісін х1 жер жырту тереңдігі мен х2 топырақтың үлестік кедергісіне байланысты зерттеу кезінде екі фактордың қос өзара әсері есебінен және оны ескермей модель құруға арналған екіфакторлы эксперимент нәтижесі түрінде 4.7 кесте және отклик беті берілген (сурет 4.5)

 

Кесте 4.7 Соқаны сынау нәтижелері

(4.7) кесте және (4.19) формула деректері бойынша мыналарды аламыз:

 

Осыған орай, х1 және х2 факторлардың қос өзара әрекеті есебінсіз регрессияның сызықтық теңдеуі мына түрде болады:

4.5 б суретте тұтас сызықпен белгіленген.

Факторлардың қос өзара әсері кезіндегі регрессиясы коэффициенті

 

 

B0, b1 және b2 коэффициенттері (4.19) формуласы бойынша есептеледі. Сөйтіп, х1 және х2 факторларының қос өзара әсері есебімен регрессия теңдеуі мына түрде болады:

 

 

Сурет 4.5,б факторлардың өзара әсері есебімен (үзіксызықты) және есебінсіз (тұтас сызықты) отклик беті

 

Бұл теңдеу сызықты теңдеуден 4х1х2 құрамымен ерекшеленеді.

4.5 б суретте У1234 үзік сызығы бейнеленген – бұл екі фактордың (х1х2 факторларының туындысы сияқты )да бірінші қатарының өзара әсерін ескеретін қисық сызықты бет, отклик беті.

Біздің мысалымызда жыртылған жер тереңдігі факторы мен топырақтың үлесті кедергісі факторының өзара әсері (шындығында – соқаға топырақтың үлесті кедергісі әр тереңдікте әртүрлі).

Үн бетінің сызықсыздығы факторлардың өзара әсерінің басқа типімен сипатталады.

Факторлардың квадртаы типті отклик бетінің (регрессия теңдеуінің) сызықсыздығы.

Бұл жағдайда k факторы бойынша түрленетін үдеріс моделі екінші дәрежелі полиноммен сипатталады.

 

Бұндай полином құру үшін екінші қатар орталығы немесе жоспар ядросы болып 2k ТФЭ таңдалады да, оған факторлы кеңістіктің қосымша (жұлдызды) нүктелері қосылады.

Сурет 4.6. Жұлдызды нүктелер мен 22 ТФЭ нүктелерінің өзара сәйкес орналасуы

 

Орналасу орны екінші қатарды жоспарлау матрицасының барлық бағандарының ортогоналдылығы шартымен анықталады. Бұндай жоспар екінші қатардың ортогоналды орталық-композициялық жоспары (ООКЖ) деп аталады. Жоспарға ±1 деңгейіне факторлар мәні және х1 = (i=1, 2, 3 … k) координатасының басталу нүктесі енгізіледі және әр координатада х1 = ± а екі жұлдызды нүктесі таңдалады. Бұл жағдайда n=2k+2k+1 қатынасы сынақ нұсқаларының жалпы санын анықтайды. 4.6 суретте а және 0 координаталарымен жұлдызды нүктелер бейнеленген, мұндағы а – жұлдызды иық (плечо) түрленетін факторлар саны жұлдызды нүктелердің орналасуын анықтайды. Факторларының алғашқы дәрежесінің ортогоналдылығы [23] мәні бойынша факторлар квадратының қайта түрленуімен қамтамасыз етіледі.

мұндағы: f – факторлар санына тәуелді түзету.

Екіфакторлы эксперимент үшін екінші қатарлы ООКЖ құру мақсатында 4.8 кестесінің [23] деректерін пайдаланамыз.

 

Кесте 4.8 – Квадратты модульді есептеуге қажет деректер

 

Факторлар саны k Жоспар ядросы Сынақтың жалпы саны а жұлдызды иық d түзету мәні
22 1,0000 2/3 =0.6667
23 1.2154 8/15=0.7303
24 1.4142 4/5=0.80
25-1 1.5467 4√3/9=0.7698
25 1.5960 4√86/43=0.8627

 

 

Кесте 4.9 – Зерттелетін екіфакторлы үдеріс үшін екінші қатардың ортогоналды орталық-композициялық жоспары

Регрессия коэффициенттері төмендегі мән бойынша (жоспардың ортогоналдылығының негізінде) есептеледі.

 

Коэффициенттерді есептеп алып, регрессия теңдеуін жазуға болады.

 

 

Теңдеу жақшасын ашып, қабылдап, регрессия теңдеуін стандартты формада жазуға болады: