Задачи динамического программирования.

1.

2.

3.

;

, ;

, ;

- не задано.

Задачу будем решать на фазовой плоскости с равномерной сеткой, начиная с конечной точки. i

 
 

 


i,j

пусть будет оптимальное управление

x1,k

 
 


х1

 

Задача численного решения заключается в поиске для каждого узла сетки управляющего воздействия, обеспечивающего перевод в следующий узел по оптимальной траектории в смысле заданного критерия оптимальности.

.

Поскольку сетка имеет постоянный шаг:

- шаг.

;

- количество шагов по .

Для перехода из одного узла сетки в другой, отстоящий от предыдущего на , требуется различное время , которое определяется фактически величиной той точки, из которой осуществляется переход.

4. ,

- можно считать номером узла, отсчитываемом от оси абсцисс вертикали.

Из (3):

Для перехода между узлами соседнего по - сечению, но отличаться по на величину , ( может быть положительной и отрицательной целочисленной) требуется одно и тоже время , но различается управление.

 

5. / ;

Минимальное значение критерия

6. ;

.

 

Алгоритм расчета оптимального управления:

1. Для конечной точки находим значение

2. Для узлов предпоследнего сечения по находим управляющее воздействие по , необходимое для перевода из узлов с ординатой предпоследнего сечения в конечную точку. Сравниваем с допустимыми пределами и запоминаем только значения, удовлетворяющими ограничениям по . Для каждого узла, из которого возможен переход в конечную точку, определяем значение критерия и также запоминаем.

3. Для всех точек следующего сечения определяем управление, необходимое для перевода в точку предпоследнего сечения и удовлетворяющее ограничениям на управление. Определяем значение критерия и выбираем только тот, который имеет минимальную величину, заполняем это значение и запоминаем соответствующее ему управляющее воздействие. И так до последнего для всех узлов сетки.

4. Формирование управляющего воздействия осуществляется начиная с узла, определенного начальным состоянием системы, по оптимальному управлению для начального узла и так до конечного.