Задачи динамического программирования.
1.
2.
3.
;
, ;
, ;
- не задано.
Задачу будем решать на фазовой плоскости с равномерной сеткой, начиная с конечной точки. i
i,j
пусть будет оптимальное управление
x1,k
х1
Задача численного решения заключается в поиске для каждого узла сетки управляющего воздействия, обеспечивающего перевод в следующий узел по оптимальной траектории в смысле заданного критерия оптимальности.
.
Поскольку сетка имеет постоянный шаг:
- шаг.
;
- количество шагов по .
Для перехода из одного узла сетки в другой, отстоящий от предыдущего на , требуется различное время , которое определяется фактически величиной той точки, из которой осуществляется переход.
4. ,
- можно считать номером узла, отсчитываемом от оси абсцисс вертикали.
Из (3):
Для перехода между узлами соседнего по - сечению, но отличаться по на величину , ( может быть положительной и отрицательной целочисленной) требуется одно и тоже время , но различается управление.
5. / ;
Минимальное значение критерия
6. ;
.
Алгоритм расчета оптимального управления:
1. Для конечной точки находим значение
2. Для узлов предпоследнего сечения по находим управляющее воздействие по , необходимое для перевода из узлов с ординатой предпоследнего сечения в конечную точку. Сравниваем с допустимыми пределами и запоминаем только значения, удовлетворяющими ограничениям по . Для каждого узла, из которого возможен переход в конечную точку, определяем значение критерия и также запоминаем.
3. Для всех точек следующего сечения определяем управление, необходимое для перевода в точку предпоследнего сечения и удовлетворяющее ограничениям на управление. Определяем значение критерия и выбираем только тот, который имеет минимальную величину, заполняем это значение и запоминаем соответствующее ему управляющее воздействие. И так до последнего для всех узлов сетки.
4. Формирование управляющего воздействия осуществляется начиная с узла, определенного начальным состоянием системы, по оптимальному управлению для начального узла и так до конечного.