Характеристика закономерности рядов распределения. Кривые нормального распределения.

С помощью рядов распределения статистика решает одну из своих задач: характеризует и измеряет колеблемость варьирующего признака. В вариационных рядах существует связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частоты сначала возрастает до определённой границы, а потом уменьшается. Такие изменения называются закономерностями распределения.

Статистические данные рядов распределения по конкретному признаку в графическом виде представляют собой определенные кривые распределения. Задачей статистики является определить форму кривой (тип), степень рассеивания (чем больше рассеяна кривая, тем больше колеблемость признака), степень её асимметрии, высоко- или низковершинность. Цель такого исследования – проверить нормальность условий отбора данных, т.е. если кривая асимметрична или имеет две и более вершины, то состав данных разнотипен, их необходимо перегруппировать и выделить другие, более однородные группы.

Для определения характера распределения оценивают степень его однородности, т.е. вычисляют показатели асимметрии и эксцесса.

Симметричным (нормальным) распределением является то, у которого частоты двух вариант, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В нём , Mo и Me равны, т.е. показатели асимметрии равны нулю. В противном случае рассчитываются показатели асимметрии:

(7.27) или (7.28).

Они могут быть положительными и отрицательными. Если показатель асимметрии положительный (As>0), значит, присутствует правосторонняя асимметрия и .

Если показатель асимметрии отрицательный ( ), то асимметрия левосторонняя и .

Коэффициент асимметрии может изменяться от (-3) до (+3). Принято считать, что асимметрия больше 0,5 (независимо от знака) – значительная, меньше 0,25 – незначительная.

На практике чаще применяется показатель асимметрии:

(7.29), где - центральный момент третьего порядка*, - среднее квадратическое отклонение в кубе.

В действительности распределения данных редко бывают симметричными, т.е. нормальными. Нормальная кривая – это идеализированная форма распределения, хотя многие распределения близки к нормальному.

Преобразование фактического конкретного распределения в нормальное, т.е. определение теоретической кривой нормального распределения, необходимо, чтобы выявить общую закономерность развития изучаемого явления, возникающую под воздействием множества случайных причин, позитивных и негативных отклонений. Уравнение нормальной кривой:

 

(7.30), где - ордината, , - стандартизированная нормальная величина.

Широко применяется в теории выборочного метода для определения закономерности развития генеральной совокупности по данным выборки и для расчёта соответствующих показателей.

Из формулы (7.30) видно, что и определяют черты симметричной кривой нормального распределения. В зависимости от их значений, кривая может иметь разный центр группирования, быть более удлинённой или сжатой.

Для симметричных распределений рассчитываются показатели эксцесса (островершинности):

1) показатель Линдберга :

(7.31), где n – доля (%) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине в ту или другую сторону от .

2) (7.32), где - центральный момент 4-го порядка, (7.33), где

- середина интервала в интервально ряду, - величина интервала.

Если , то распределение симметричное;

Если , то распределение островершинное;

Если , то распределение плосковершинное.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса необходима для вывода об отнесении данного эмпирического распределения к типу нормального распределения. Если оно не относится к нормальному, то строится математическая модель по уравнению (7.30) и выявляется закономерность развития данного явления, включая и прогноз.

Существенность расхождений между эмпирическим и теоретическим распределениями определяется с помощью ряда критериев согласия: К. Пирсона (Хи-квадрат), В.И.Романовского, Б. С. Ястремского, А. Н. Колмогорова.

 

 

Контрольные вопросы.

1. Что такое вариация признака?

2. Перечислите абсолютные и средние показатели вариации.

3. Как исчисляется размах вариации?

4. Что представляет собой среднее линейное отклонение?

5. Какой показатель вариации называется дисперсией? По каким формулам она рассчитывается?

6. Каковы основные свойства дисперсии?

7. Что называется средним квадратическим отклонением? По какой формуле оно вычисляется?

8. Назовите относительные показатели вариации.

9. Определите значение коэффициента вариации для экономического анализа.

10. Как исчисляется дисперсия альтернативного признака?

11. Как определяются межгрупповая и средняя из внутригрупповых дисперсии?

12. В чем состоит практическое значение правила сложения дисперсий?

13. Какое распределение называется нормальным?