Шектері шексіз болып келген меншіксіз интегралдар.

функциясы аралығында үзіліссіз. Осы функцияның -дан -ке дейінгі меншіксіз интегралы деп мынадай шекті айтамыз:

Егер бұл шек табылатын болса (тұрақты саға тең болса), онда меншіксіз интеграл жинақты деп аталады; егер ол табылмаса, онда ол жинақсыз деп аталады. Егер аралығында болса, онда бұл интеграл шектері: түзулері мен және функциясының графигі болатын шектелмеген фигураның ауданын өрнектейді. Жинақты интеграл үшін бұл аудан ақырлы, ал жинақсыз интеграл үшін – шексіз. (1-сурет). Тәжірибе жүзінде , бұл интегралды Ньютон-Лейбниц теоремасының төмендегі салдары бойынша есептеу ыңғайлы.

Салдар 1. функциясы аралығында үзіліссіз және оның алғашқысы, онда

Мысал 5. . Сонымен бұл интеграл жинақсыз.

Енді функциясы аралығында үзіліссіз болсын. Онда -тен -ға дейінгі меншіксіз интеграл деп шегін айтамыз.

Бұл интеграл (егер ) шектері:

және

болатын фигураның ауданы.

Салдар 2. функциясы аралығында үзіліссіз және оның алғашқы функциясы болса, онда

.

Егер функциясы барлық сандар өсінде үзіліссіз болса, онда -тен -ке дейінгі меншіксіз интеграл деп келесі екі интегралдың қосындысын айтамыз:

(мұндағы -қандай да бір сан). Бұл анықтама -ны таңдауға тәуелді емес. Бұндай интеграл жинақты деп аталады, егер:

және

интегралдың екеуі де жинақты болса.

Егер бұл интегралдардың тым болмағанда біреуі жинақсыз болса, онда интегралы жинақсыз деп аталады. Егер болса, онда интегралы шектері және болатын облыстың ауданын өрнектейді.

Салдар 3. функциясы барлық сандар өсінде үзіліссіз және оның алғашқы функциясы болсын. Онда

.

Мысал 6.

.

Ендеше, меншіксіз интеграл жинақты.

Мысал 4. Бірінші текті м еншіксіз интеграл берілген: . -ның қандай мәнінде бұл интеграл жинақты, ал қандай мәнінде жинақсыз.

► болсын. Онда

Егер болса, онда яғни, берілген интеграл жинақсыз.

Нәтижесінде:	жинақты
жинақсыз◄

Өзін-өзі бақылауға арналған тестілер:

 

1. қисықтармен шектелген фигураның ауданын табу керек

[a] 7

[a] 4,2

[a]

[a] 10

[a] 0

2. қисықтармен шектелген фигураның ауданын табу керек

[a] 4

[a]

[a]

[a] 21

[a] 0

3. қисықтармен шектелген фигураның ауданын табу керек

[a]

[a] 5

[a] 2

[a] 2,5

[a] 0

4. қисықтармен шектелген фигураның ауданын табу керек

[a]

[a] 9

[a] 0,2

[a] 2

[a] 0

4. қисықтармен шектелген фигураның ауданын табу керек

[a] 0

[a]

[a] 1

[a]

[a]

5. қисықтармен шектелген фигураның ауданын табу керек

[a] 6

[a]

[a]

[a] 10

[a] 0

12-ші дәріс

Дифференциалдық теңдеулер

1. Дифференциалдық теңдеулер теориясының негізгі ұғымдары

2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер (ДТ)

3. Айнымалылары ажыратылған және ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық

теңдеулер

4. Біртекті дифференциалдық теңдеулер

5.Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу

6.Лагранж әдісі (тұрақтыны вариациялау әдісі)

7.Бернулли теңдеуі

8.Толық дифференциалдық теңдеу

1. Дифференциалдық теңдеулер теориясының негізгі ұғымдары

Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалыны, белгісіз функцияны және оның туындыларын байланыстыратын теңдеуді айтады

(1)

Мұндағы, - тәуелсіз айнымалы, - белгісіз функция, - оның туындылары. Егер белгісіз функция тек бір тәуелсіз айнымалының функциясы болса, онда дифференциалдық теңдеуді жай деп, ал ол бірнеше айнымалының функциясы болса дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Егер болса, онда

(2)

(2) теңдеу бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Ал болған жағдайда (1) теңдеу жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Анықтама. (1) дифференциалдық теңдеудің шешімі немесе интегралы деп, аралығында туындылары бар және осы теңдеуді қанағаттандыратын функциясын айтады.

 

Яғни

(3)

бұл тепе-теңдік бойынша орындалады.

 

2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

 

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді (2) қарастырайық. Егер (2) теңдеу арқылы шешілетін болса, онда оны

(4)

түрінде жазуға болады.

(4) теңдеудің

(5)

деген бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімін табу керек. Мұндағы нүктесі функцияның анықталу аймағындағы берілген нүкте. Мұндай есеп Коши есебі деп аталады.

Теорема. Егер (4) теңдеудегі функциясы және оның бойынша дербес туындысы , қайсыбір аймағында үзіліссіз болса, онда (5) шартты қанағаттандыратын осы теңдеудің тек қана бір дербес шешімі бар.

(2) теңдеудің кез келген шешімі

(6)

түрінде анықталса, оны (2) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп атайды. Мұндағы кез келген тұрақты сан. Егер дифференциалдық теңдеудің шешімі

(7)

түрінде анықталса, оны дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы деп атайды. Теореманың шарттарын қанағаттандырмайтын (4) дифференциалдық теңдеудің шешімін ерекше шешім деп атайды.

(4) теңдеуді теңдікті пайдаланып былай жазуға болады

(8)

Сонымен бірінші ретті (8) теңдеу дифференциалдық түрде берілген теңдеу деп аталады.

 

3. Айнымалылары ажыратылған және ажыратылатын бірінші ретті

дифференциалдық теңдеулер

 

(9)

түрдегі дифференциалдық теңдеу айнымалылары ажыратылған теңдеу деп аталады. (9) теңдеудің шешімі

(10)

Мұндағы кез келген тұрақты сан.

 

Мысал 1. теңдеуінің жалпы интегралын табу керек.

(11)

теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеудеп атайды. Егер болмаса (11) теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеуге келтіруге болады. Теңдеудің жалпы интегралы

Е с к е р т у(11) тедеуді -ке мүшелеп бөлген кезде кейбір шешімдері жоғалуы мүмкін. Сондықтан теңдікті шешіп, дифференциалдық теңдіктің жалпы шешімінен алынбайтын ерекше шешімін табуға болады.

Мысал 2. теңдіктің жалпы шешімін табу керек.

теңдеуін деп белгілеп, айнымалылары ажыратылатын теңдеуге келтіруге болады.

Мысал 3. теңдіктің жалпы шешімін табу керек.

4. Біртекті дифференциалдық теңдеулер

Айнымалылары ажыратылатын теңдеуге бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеуді келтіруге болады.

Егер және үшін мына теңдік орындалса функциясы -і дәрежелі біртекті деп аталады

(12)

Егер және бірдей дәрежелі біртекті функциялар болса, онда

(13)

дифференциалдық теңдеуі біртекті деп аталады.

(13) теңдеуді

(14)

түрге келтіруге болады, мұндағы нөлінші дәрежелі біртекті функция. функцияның орнына жаңа -ке байланысты функциясын енгіземіз. Яғни немесе . Онда (14) теңдеуді былай жазуға болады бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу.

 

Мысал 4. теңдеуінің интегралын табу керек.

теңдеуін біртекті теңдеуге немесе айнымалылары ажыратылатын теңдеуге келтіруге болады. Берілген функцияның аргументіндегі сызықтық өрнектердегі бос мүшелерді жою . Мұндағы тұрақты сандар. Ол үшін деп алып жаңа және айнымалыларын енгізу керек, мұндағы және - белгісіз сандар, оларды берілген теңдеу біртекті болатындай етіп табу керек. Яғни олар

теңдеулер жүйесінің шешімі болуға тиіс.

5. Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу

Бірінші ретті сызықты теңдеу деп, белгісіз функция мен оның туындысы сызықты болатын теңдеуді айтады

(1)

Мұндағы, және -ке байланысты үзіліссіз функциялар. Егер болса, онда теңдеуі біртекті сызықты теңдеу деп аталады.

Бернулли әдісі

 

(1) теңдеудің шешімін -ке байланысты екі функцияның көбейтіндісі түрінде іздейміз, яғни

(2)

(3)

(2) мен (3) теңдіктерді (1)-і теңдеуге қойып

немесе (4)

теңдеуін аламыз. функцияны

(5)

болатындай етіп таңдап аламыз.

жалпы шешім. Бізге (5) теңдеудің нөлден басқа қайсыбір шешімі жеткілікті, сондықтан үшін

(6)

өрнегін аламыз. -тің (6) мәнін (4)-ге қойып екендігін ескеріп мынаны аламыз

(7)

(7) теңдеудің жалпы шешімі

және -тың мәндерін формуласына қойып (1) теңдеудің жалпы шешімін табамыз, яғни (8)

Мысал 5. теңдеудің жалпы шешімін табу керек.

 

6. Лагранж әдісі

(тұрақтыны вариациялау әдісі)

теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі мұндағы - кез келген тұрақты сан. Тұрақтыны вариациялау әдісі бойынша (1) теңдеудің жалпы шешімін мына түрде іздейді

(9)

Мұндағы белгісіз дифференциалданатын функция. (9) және оның туындысын (1)-ге қойып, мына өрнекті аламыз

-тың мәнін (9)теңдікке қойсақ, (1)теңдіктің жалпы шешімін табамыз, яғни

(10 )

Мысал 6. теңдеуінің дербес шешімін табу керек.

7. Бернулли теңдеуі

 

(11)

түріндегі теңдеуді Бернулли теңдеуі деп аталады

(12) теңдіктің екі жағын -ге бөліп

(12)

алмастыруын енгізейік. Онда Бұларды (12) формулаға қойып

сызықты теңдеуді аламыз. Мұндай сызықты теңдеудің шешімін таба аламыз.

 

8. Толық дифференциалдық теңдеу

(1)

теңдеуі толық дифференциалды теңдеу деп аталады, егер оның сол жағы қайсыбір функцияның толық дифференциалы болса, яғни

Бұл жағдайда (1) теңдікті түрінде жазуға болады, ал оның жалпы интегралы

(2)

болады.

 

ТЕОРЕМА. өрнегі толық дифференциал болу үшін, мұндағы және функциялары және олардың және дербес туындылары жазықтықтағы қайсыбір аймағында үзіліссіз болса, мына

(3)

шарттың орындалуы қажетті және жеткілікті.

(1) теңдіктің жалпы шешімін

(4)

немесе

(5)

түрінде табуға болады.

Мысал 7. теңдеудің жалпы интегралын табу керек.

Шешімі. яғни берілген теңдеу толық дифференциалды теңдеу. Жалпы интегралды табу үшін (3) формуланы пайдаланамыз, деп алып

 

Өзін-өзі бақылауға арналған тестілер:

1.Теңдеуді шешіңіз:

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

2.Теңдеуді шешіңіз:

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

3.Теңдеуді шешіңіз:

[a]

[a]

[a]

[a]

[a] 10

4.Теңдеудің дербес шешімдерін табыңыз:

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

5. дифференциалдық теңдеуінің ретін төмендету үшін, қажетті ауыстыруды қолданамыз:

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

6.1-ші ретті дифференциальдық теңдеуді шешіңіз:

[a] 4

[a]

[a]

[a]

[a]

 

13-ші дәріс

Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер

 

-ші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрін былай жазуға болады

(1)

немесе

(2)

(2) теңдеудің бастапқы шарттары мынадай

(3)

Анықтама. функциясы (2) теңдеудің жалпы шешімі деп аталады, мұндағы кез келген тұрақты сандар, егер

а) бұл функция тұрақтылардың кез келген мәнінде (2) теңдеудің шешімі болса,

яғни теңдеуді қанағаттандырса;

б) (3)-і шарттардан тұрақтылардың бір ғана мәндерін

табуға болса және функциясы (2)теңдеудің шешімі болса. Бұл

шешімді теңдеудің дербес шешімі деп атайды.

Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер

1. түріндегі теңдеулерді қарастырайық. Осы интегралдың жалпы шешімін табайық. екендігін ескеріп теңдеудің екі жағын боынша интегралдайық

Процессті жалғастыра отырып

Жалпы шешімді табамыз.

шарттардан

тұрақтыларды табамыз.

 

Мысал 1. Коши есебінің шешімін табу керек.

2. теңдігін қарастырайық. Бұл теңдеу -ке айқын түрде байланысты емес. деп белгілейміз, мұндағы жаңа белгісіз функция. Онда . Бұларды теңдіктің орнына қойып -ға байланысты бірінші ретті дифференциалдық теңдеу аламыз .

Бұл теңдіктің жалпы шешімі болсын. -ы -ке теңдігін аламыз. Соңғы теңдеуді бойынша интегралдап, берілген теңдеудің жалпы шешімін табамыз: .

Мысал 2. теңдіктің жалпы шешімін табу керек.

3. теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеу -ке айқын түрде байланысты емес. Теңдеудің жалпы интегралын табу үшін, тағы да деп белгілейміз. Енді функциясын -тің функциясы дейміз. Онда . Бұларды берілген теңдеуге қойып реті төмендетілген теңдеуін аламыз.

 

Мысал 3. теңдеудің жалпы интегралын табу керек.

 

4. функциясын айнымалылары бойынша -і дәрежелі біртекті деп айтады, егер параметр үшін, шарты орындалса. теңдеуін айнымалылары бойынша біртекті деп атайды, егер - функциясы айнымалылардың -і дәрежелі біртекті функциясы болса. Мұндай теңдеудің ретін ауыстыру арқылы төмендетуге болады, мұндағы - жаңа белгісіз функция:

.

немесе .

Жоғарғы ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер

(1)

теңдеуі n-ші ретті біртексіз сызықты диференциалды теңдеу деп аталады. Мұндағы кесіндіде анықталған функциялар. Егер

(2)

теңдеуі -ші ретті біртекті сызықты диференциалды теңдеу деп аталады.

(3)

бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (1) теңдеудің шешімін табу керек, мұндағы берілген тұрақты сандар.

Функциялардың сызықты тәуелсіздігі. Вронский анықтауышы

Анықтама. интервалында функцияларын сызықты тәуелді дейміз, егер барлығы нөлге тең емес сандары табылып мына теңдік орындалса:

(1)

Егер (1)теңдік тек үшін ғана орындалса, онда функцияларын сызықты тәуелсіз дейміз. болсын, онда

(2)

өрнегін Вронскийдің анықтауышы деп атаймыз. Егер және оның туындылары нүктеде есептелсе, онда Вронскийдің анықтауышының осы нүктедегі мәнін деп белгілейміз.

ТЕОРЕМА. Егер функциялары сызықты тәуелді болса, онда

Салдар. Егер функциялардың Вронскианы қайсібір нүктеде нөлге тең болмаса, онда бұл функциялар аралығында сызықты тәуелсіз.

 

Мысал 1. функциялары кез келген аралығында сызықты тәуелсіз.

Мысал 2. Егер әртүрлі нақты сандар болса, онда функциялары кез келген аралығында сызықты тәуелсіз.

Мысал 3. функциялары кез келген аралығында сызықты тәуелсіз.

Теорема. Кез келген -ші ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеудің тура сызықты тәуелсіз шешімі бар. Онда теңдеудің жалпы шешімі мынандай мұндағы - кейбір тұрақты сандар.

Кез келген сызықты тәуелсіз шешімдерді (2) теңдеудің іргелі жүйелі шешімдері деп аталады.

Теорема. Біртексіз сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі оның дербес шешімі мен оған сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімінің қосындысынан тұрады.

Коэффициенттері тұрақты сызықты жоғарғы ретті біртекті

дифференциалдық теңдеулер

(1)

мұндағы тұрақты сандар, коэффициенттері тұрақты сызықты біртекті дифференциалды теңдеу (СБДТ) деп аталады.

(1) теңдеудің дербес шешімін түрінде іздейміз, мұндағы -белгісіз тұрақты сан. Онда

(2)

(1) теңдеуге (2)-і және қойып, теңдіктің екі жағын қысқартып, берілген ДТ-дің сипаттауыш (характеристикалық) теңдеуін аламыз:

(3)

Егер (3) теңдеудің түбірі болса, онда (1) теңдеудің дербес шешімі болады және керісінше.

 

Сипаттауыш теңдеудің түбірлері	Дербес шешім	Жалпы шешім
әртүрлі нақты сандар
бірдей нақты сандар
Екінші ретті ДТ-дің сипаттауыш теңдеуінің түбірлері

 

Мысал 1. теңдеудің жалпы шешімін табу керек.

Мысал 2. теңдеудің жалпы шешімін табу керек.

Мысал 3. теңдеудің жалпы шешімін табу керек.

Мысал 4. теңдеудің жалпы шешімін табу керек.

Мысал 5. теңдеудің жалпы шешімін табу керек.

Коэффициенттері тұрақты сызықты жоғарғы ретті біртексіз дифференциалдық теңдеулер

Коэффициенттері тұрақты біртексіз ДТ берілсін

(1)

Бұл теңдеудің жалпы шешімі

(2)

болады, мұндағы - (1) теңдеудің дербес шешімі, ал функциялар біртекті теңдеудің іргелі жүйе шешімдері. Бұл шешімдерді табу әдісі жоғарыда көрсетілген. (1) теңдеудің оң жағы

(3)

болсын, мұндағы және -ші және -ші дәрежелі коэффициенттері тұрақты көпмүшеліктер. (3) өрнектің дербес жағдайларын қарастырайық.