Ньютон – Лейбницформуласы

Анықталған интеграл үшін жоғарыдағы қасиеттерден басқа бірнеше маңызды қасиеттерін теорема түрінде келтірейік.

функциясы кесіндісінде интегралданатын болсын және .

үшін жаңадан функциясын мына қатыс бойынша анықтайық.

Мұндағы жоғары шегі айнымалы функциясынан алынған интегралмен өрнектеледі. Анықталған интегралдағы айнымалыны кез келген әріппен белгілеуге болатынын ескере кетейік. Одан оның мәні өзгермейтіндігі анықталған интегралдың анықтамасынан келіп шығады.

Теорема 2. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, онда функциясы аралығында функциясының алғашқы функциясы болады, яғни осы интервалда болады.

Келесі теорема интегралдық есептеудің негізгі теоремасы болып есептеледі. Себебі анықталмаған интегралдың көмегімен анықталған интегралды табудың әдісін береді.

Ньютон – Лейбниц теоремасы. функциясы кесіндісінде үзіліссіз және оның осы кесіндіде алғашқы бейнесі болса, онда .

Мұндағы айырма келесі түрде қысқартылып жазылады:

.

2.2 Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру

Теорема 4. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз, ал функциясы кесіндісінде бірсарынды және үзіліссіз дифференциалданатын болса, мұндағы , , онда .

Мысал 1. интегралын есептейік. Ол үшін ауыстыруын қолданамыз.

Бұлинтегралбіріншіквадраттаорналасқанрадиусыбіргетең, центрікоординатбаснүктесіндегідөңгелектіңширекбөлігініңауданынбілдіреді.

2.3 Анықталған интегралды бөліктеп интегралдау

Теорема 5. кесіндісінде және үзіліссіз дифференциалданатын функциялары берілсін, сонда мына теңдік орынды

.

Бұл теңдікті қысқаша түрде былай да жазуға болады .

Мысал 2.

3. Қисықтың ұзындығын, аудандарды, дененің көлемін есептеу.

Анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы

 

Анықталған интегралдың көмегімен берілген аймақтың шекаралары әртүрлі болып келген фигуралардың ауданын, қисық доғ,асының ұзындығын, дененің көлемін және айналу бетітің ауданын табуға болады.

3.1. Декарт координаталарындағы аудан.Егер [a,b] кесіндісіндегі болса, онда осы кесіндісінде интегралы қисық сызықты трапецияның ауданын өрнектейтіні жоғарыда айтылған.

3.2 Поляр координаттарындағы аудан.Жазықтықтағы кейбір қисықтарды полярлық деп аталатын координаталар жүйесінде қарастырған қолайлы.

Жазықтықта декарттық координаталар жүйесі берілсін. оң жарты осін полярлық ось деп, ал нүктесін полюс деп атаймыз. нүктесі – жазықтықтағы кез келген нүкте болсын.

нүктесінен нүктесіне дейінгі қашықтықты осы нүктенің полярлық радиусы деп аталады. Полярлық өс пен векторының арасындағы бұрышты арқылы белгілейміз. және сандары нүктесінің полярлық координаттары деп аталады.

және сандарына мынадай шектеулер қолданылады. (немесе ).	нүктесінің декарттық және полярлық координаталарының арасын-дағы байланыс келесі теңдіктің көмегі-мен анықталады
22-сурет	Координат төбесінен шығатын сәулелермен және (мұндағы ) және теріс емес функциясының кесіндідегі үзіліссіз графигімен шектелген жазықтықтағы облысын қисықсызықты үшбұрыш деп атаймыз (22-сурет).

кесіндісін бөлікке бөліп және әрбір бөліктегі қисық сызықты үшбұрыштың ауданы , радиусы , бұрышы болатын дөңгелек сектордың ауданына ауыстыра отырып келесі жуықтау формуласын аламыз

.

Мұндағы қосынды кесіндісінде функциясы үшін интегралдық қосынды болып табылады.

Соңғы теңдікте -дің ең үлкені 0-ге ұмтылғанда қисықты үшбұрыштың ауданы ретінде келесі өрнекті аламыз:

.

Мысал 3. қисығымен шенелген облыстың ауданын табамыз. Бұл қисық Бернулли лемнискатосы деп аталады. (23-сурет).

23-сурет

шартынанинтегралдауоблысытабылады. Осы-дан үшін бүкіл облыс-тың құрайтын қисық сызықты үшбұрыштың ауданын табу жеткілікті

 

3.2 Қисық доғасының ауданын табу

 

Жазықтықта , үзіліссіз дифференциалданатын функцияның графигімен берілген ұштары және нүктелерінде болатын қисығын қарастырайық. Осы қисықты бөлікке бөлеміз. , - нүктесінің координаталары

,

Төбелері таңдап алынған нүктелерде жататын қисығына іштей сызылған сынықтың ұзындығын деп белгілейміз:

.

Анықтама. - дің ең үлкені 0-ге ұмтылғандағы қисыққа іштей сызылған сынықтың ұзындықтарының қосындысының шегі қисығының ұзындығы деп аталады.

Оны арқылы белгілейміз. .

Қисықтың ұзындығы болатын болса (егер жоғарғы шек бар болса), онда оны түзуленетін қисық деп атаймыз.

Теорема. Түзуленетін функциясының -да үзіліссіз дифференциалданатын графигі және оның ұзындығы мына формула арқылы анықталады .

Салдар 1. Үзіліссіз дифференциалданатын параметрлік функция жазықтықта -қисығының көмегімен берілген

Онда түзуленетін қисықтың және оның ұзындығы мына формула арқылы анықтаймыз .

Салдар 2. Айталық қисығы полярлық координата үзіліссіз дифференциалданатын теріс емес ( ) функциялармен берілсін. Бұл түзуленетін қисық және оның ұзындығы былай табылады:

.

 

3.4 Анықталған интегралдың көмегімен айналу денесінің көлемін табу

24-сурет

денесінің өсіндегіпроек-циясы кесіндісіболсын, яғни функциясыосыкесіндідеанықталған. Осы функциясын кесіндісіндеүзіліссізфункциядепесептейміз (24-суреттіқараңыз).

[a,b] кесіндісін нүктелерімен бөлікке бөлеміз, әрбір [x_i-1,x_i] аралықтағы дененің көлемін биіктігі тең, табан ауданы c_i. [x_i-1,x_i] болатын цилиндрдің көлемімен ауыстырамыз. Осының нәтижесінде T денесінің көлемін табатын жуық формуланы аламыз

.

Бұл қатыста -дің ең үлкенін нөлге ұмтылдырып T денесінің көлемінің дәл мәнін табамыз .

Егер T денесі, кесіндісінде анықталған үзіліссіз функциясымен берілген қисық сызықты трапецияның өсінен айналуынан шыққан дене болсын. Дөңгелектің ауданы мына формуламен табылады , мұндағы дөңгелектің радиусы. Пайда болған айналу денесінің көлемі мына қатыспен анықталады .

3.5 Айналу бетінің ауданын табу.Айталық, үзіліссіз дифференциалданатын , ( және ) функциясының графигі өсінен айналсын. Пайда болған - айналу бетінің

формуласымен табылатынын дәлелдеу қиын емес.

Мысал 4. параболоидының жазықтығымен шектелген бөлігінің ауданын табайық. Бұл бет ( ) параболасының өсінен айналғанда пайда болады. Демек, іздеп отырған аудан

.