Функцияларды интегралдау.

3.1.Иррациоиал функцияларды интегралдау. түріндегі интеграл

Мына түрдегі интегралды қарастырайық

мұндағы - рационал функция, яғни -айнымалысы бар екі көпмүшеліктің қатынасы және түріндегі дәрежелік функциялар.

бөлшектерінің ең кіші ортақ бөлімін -ға тең делік және берілген интегралда , ауыстыруын жасаймыз.

 

Соның нәтижесінде айнымалы бойынша рационал функцияның инитегралын аламыз.

.

-сандарының бәрі бүтін болғандықтан, жоғарыда айтылғанға байланысты, мұндай интеграл элементар функциялар арқылы табылады.

Мына түрдегі интегралды қарастырайық

,

мұндағы - рационал функция ауыстыруын жасаймыз, сонда рационал функцияның интегралын аламыз, мұндағы бөлшектерінің ортақ бөлімі

3.2 түріндегі функцияны интегралдау, мұндағы аргументтері бойынша рационал функция

Квадрат үшмүшеліктен толық квадратты бөліп алып, ауыстыруын жасасақ, онда интегралы төмендегі үш интегралдың біреуіне келтіріледі. ( -рационал функция);

. . , ауысты-руын жасасақ, онда интеграл түріндегі интегралға келеді. Мұндай интеграл жоғарыда қарастырылған.

. түріндегі интеграл ауыстыруын жүргізу арқылы табылады, мұнда

.

 

.

Кейбір рационал функцияның арнайы түріне интегралды табудың басқа әдістері қолданылады. Солардың екеуін қарастырайық.

. түріндегі интеграл , ауыстыруы арқылы табылады. Бұл жағдайда оны бұрын қарастырған интегралға немесе кестелік интегралға келтіруге болады.

.

. интегралдағы дәрежелі көпмүшелігін мына түрде жазуға болады

мұндағы дәрежелі көпмүшелік, -сан. және коэффициенттерін теңдіктің екі жағын дифференциалдағаннан кейін анықталмаған коэффициенттер әдісін қоланып табамыз

3.2 Кейбір тригонометриялық функцияларды интегралдау

 

Бұл пунктте біз интегралын табуды қарастырамыз, мұнда - -ға қатысты рационал функция.

Берілген интеграл универсал ауыстыруы арқылы рационал функцияның интегралына келтіріледі. Шынында да,

бөлшектің алымын және бөлімін -ке бөлеміз .

.

болғандықтан, онда .

Мұның нәтижесінде шығатыны

, мұндағы, - рационал функ-ция.

. Егер интеграл астындағы функция косинус бойынша тақ болса, яғни , онда мына түрге келтіруге болады.

Онан кейін ауыстыруын жүргізіп, рационал функцияның интегралына келтіреміз:

.

. Егер интеграл астындағы функция синус арқылы тақ болса, яғни , онда оны мына түрге

келтіруге болады. Ауыстыруын жүргізіп, интегралды рационал функциясының интегралына келтіреміз:

.

. Егер интеграл астындағы функция шартын қанағаттандырса, онда мына түрге келтіруге болады:

,

бұдан кейін интегралға ауыстыруын жүргіземіз. Сонда , болады. Сөйтіп берілген интеграл рационал функцияның интегралына келтіріледі.

4⁰. Мына , мұндағы m, n – тұрақты сандар, түріндегі интегралды алу үшін тригонометрияның формулалары:

теңдіктерін қолдану арқылы көбейтінділерді қосындыға жіктеу арқылы берілген интегралды алу қиынға түспейді.

5⁰. Мына , мұндағы m және n – ке-келген бүтін көрсеткіштер, түріндегі интегралды есептеу жолдарын қарастырайық.

1). Интегралдағы mнемесе nсандарының біреуі тақ сан, Мысалы, болсын. Бұл кезде десек, онда

демек, интеграл астында рационал функция шығады.

2) Интегралдағы m және n – жұп, оң бүтін сандар. Онда оларды тригонометрияның белгілі формулаларын қолдану арқылы интеграл астындағы функцияның дәрежесін төмендетуге болады.

Өзін-өзі бақылауға арналған тестілер:

1.Анықталмаған интегралды табыңыз

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

2.Анықталмаған интегралды табыңыз

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

3.Анықталмаған интегралды табыңыз

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

4.Анықталмаған интегралды табыңыз

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

5.Анықталмаған интегралды табыңыз

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

6.Анықталмаған интегралды табыңыз

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

 

7.Анықталмаған интегралды табыңыз

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

8.Анықталмаған интегралды табыңыз

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

11-ші дәріс

Анықталған интеграл.

 

1. Анықталған интеграл.

2. Интегралдың жоғарғы шегі бойынша туындысы

3. Қисықтың ұзындығын, аудандарды, дененің көлемін есептеу. Анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы

4. Меншіксіз интегралдар.

 

Анықталған интегралдың аппараты бәрінен бұрын жазық фигуралардың ауданын табуға байланысты пайда болды.

Қазіргі кезде аз шамалардың сандары өте көп болғанда оның қосындысын табуға арналған барлық техникалық ғылымдар практикасында есептерді шешу үшін осы интегралдар қолданылады.

Анықтама. кесіндісіндегі үзіліссіз функциясымен өсі және , , түзулерімен шектелген жазықтығындағы аймақты қисықсызықты трапеция дейді

Оңай болу үшін делік, яғни трапеция өсінің жоғарғы жағында орналасқан. Қисық сызықты трапецияның ауданын жуықтап табуға болады.. Ол үшін табаны аз бөлікше кесінділерден тұратын, ал биіктігі функциясының кейбір таңдап алынған нүктелердегі мәндері болатын тік төртбұрыштардың аудандарының қосындысымен ауыстырамыз.

Анықтама. Егер кесіндісін кез келген тәсілмен, қатынастары орындалатындай етіп бөлікке бөлсек, онда нүктелер жиыны берілген кесіндінің бөліктенуі деп аталады.

Енді әрбір бөлікшеден (элементар бөліктер) қалауымызша , бір-бір нүктеден аламыз.

Осындай кесіндінің бөліктеуін әріпімен, бөлікше кесіндінің ұзындығын белгілейміз.

Айталық, функциясы кесіндісінде берілген болсын.

Анықтама.Әрбір бөлікшеден қалауымызша алынған нүктелеріндегі функцияның мәндерін элементар бөліктің ұзындығына көбейтіндісінің қосындысын кесіндісінің бөліктенуіне құралған функциясының интегралдық қосындысы деп атайды.

Мұндай қосындыны деп белгілейді.

Егер болса, онда интегралдық қосынды -тік төртбұрыштардың табандары және биіктігі болатын баспалдақты фигураның ауданын береді, яғни қосындысы жуық шамамен қисық сызықты трапецияның ауданына тең болады.

Анықтама. Егер ұзындығы ең үлкен бөлікше кесіндіні нөлге ұмтылдырғанда интегралдық қосындының ақырлы шегі бар болса, онда ол функциясының аралығындағы анықталған интегралы деп аталады, яғни

,

мұндағы - интеграл астындағы функция, - интеграл астындағы өрнек, саны – интегралдың төменгі, саны – интегралдың жоғарғы шегі, ал айнымалысы – интегралдау айнымалысы деп аталады.

Егер болса, онда анықталған интеграл жоғарыдан функциясының графигімен, төменнен өсімен және екә бүйір жағынан түзулерімен шектелген қисықсызықты трапецияның ауданын анықтайды

Теорема 1. Егер функциясы аралығында үзіліссіз немесе осы аралықта санаулы бірінші текті үзіліс нүктелері болса, онда бұл функция аралығында интегралданады, яғни интегралы бар болады.

Бұл теореманың мағынасы мынада теореманың шарттары орындалғанда кесіндінің кез-келген бөліктенуінде кесіндінің ұзындығы нөлге ұмтылғанда интегралдық қосындылар тек бір ғана санына ұмтылады.

1.1 Анықталған интегралдың қасиеттері

 

Бұдан әрі қарай қарастырылатын функциялар интегралданады деп ұйғарамыз.

1) , - тұрақты.

2) Егер кесіндісінде болса, онда .

3) Егер кесіндісінде функциясы төменнен және жоғарыдан және сандарымен шектелсе, яғни, егер кесіндісінде болса, онда

Бұл тұжырымның дәлелдеуі 2 және 1 қасиеттерден шығады. Бұл қасиетті анықталған интегралды төменнен және жоғарыдан бағалау деп атайды.

Мысал 1. Мына интегралды бағалайық.

болғандықтан . Демек, .

4) Орта мән туралы теорема.

Айталық функциясы кесіндісінде үзіліссіз болсын, онда осы кесіндіден нүктесі табылып орындалады.

Бұл мәні функцияның кесіндісіндегі орта мәні деп аталады.

5) .

Бұл қасиет анықталған интегралдың модулін бағалау деп аталады.

6) Егер теңсіздігі орындалса, онда .

Анықтама. Егер болса, онда интегралы деп -санын айтады.

интегралы нөлге тең деп есептеледі. Соңғы анықтаманы қолданып 6 қасиеттің сандарының кез келген орналасу жағдайы үшін дұрыс екендігін дәлелдеуге болады. теңсіздігінің орындалуы міндетті емес.

 

2. Интегралдың жоғарғы шегі бойынша туындысы