Распределение случайной величины. Нормальное (гауссово) распределение. Свойства нормального распределения. Другие виды распределений.

Распределением признака называется закономерность встречаемо­сти разных его значений (Плохинский Н.А., 1970, с. 12). В психологических исследованиях чаще всего ссылаются на нор­мальное распределение. Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние зна­чения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близ­кие к средней величине – достаточно часто. Нормальным такое распре­деление называется потому, что оно очень часто встречалось в естест­веннонаучных исследованиях и казалось "нормой" всякого массового случайного проявления признаков. Это распределение следует закону, открытому тремя учеными в разное время: Муавром в 1733 г. в Англии, Гауссом в 1809 г. в Германии и Лапласом в 1812 г. во Франции (Плохинский Н.А., 1970, с.17). График нормального распределения представляет собой привычную глазу психолога-исследователя так на­зываемую колоколообразную кривую. Другие виды распределений называют отклоняющимися от нормального (ненормальными).

Параметры распределения и их оценки.Параметры распределения - это его числовые характеристики, указывающие, где "в среднем" располагаются значения признака, на­сколько эти значения изменчивы и наблюдается ли преимущественное появление определенных значений признака. Наиболее практически важными параметрами являются меры центральной тенденции и меры изменчивости.

В реальных психологических исследованиях мы оперируем не па­раметрами, а их приближенными значениями, так называемыми оценка­ми параметров. Это объясняется ограниченностью обследованных выбо­рок. Чем больше выборка, тем ближе может быть оценка параметра к его истинному значению. В дальнейшем, говоря о параметрах, мы будем иметь в виду их оценки.

Меры центральной тенденции являются наиболее часто используемыми мерами при описании совокупностей данных. Наиболее распространенными среди них являются: среднее арифметическое( ), медиана(Me или Md) и мода(Mo).

Среднее арифметическое (оценка математического ожидания). Средним арифметическим является мера, представляющая собой отношение суммы значений случайной величины к количеству значений случайной величины в ее распределении:

где x_i - каждое наблюдаемое значение признака;

i - индекс, указывающий на порядковый номер данного зна­чения признака; п - количество наблюдений; ∑- знак суммирования.

Медиана. Это мера, которая делит упорядоченное распределение случайной величины пополам, так, что одна половина оказывается меньше медианы, а другая – больше. Определение медианы зависит от того, какое количество значений случайная величина принимает в распределении. Если количество значений оказывается нечетным, то медиана является значением, стоящим точно посередине упорядоченного ряда чисел. Если же количество значений четное, то медиана вычисляется как среднее арифметическое двух значений, находящихся в середине распределения.

Мода. Модой называется такое значение случайной величины, которое встречается наиболее часто. Мода является, возможно самой простой из мер центральной тенденции. Для ее вычисления необходимо просто подсчитать, сколько раз встречается каждое значение случайной величины, и наиболее частое и будет являться модой.

В отличии от мер центральной тенденции меры рассеивания показывают насколько данные неоднородны, изменчивы или различны. По этой причине меры рассеивания иногда называют мерами изменчивости и вместе с мерами центральной тенденции их называют параметрами распределения. Они являются не только параметрами описания распределения случайной величины, но и входят как составляющие во многие другие статистические меры.

Самой простой из таких мер является размах(d)– разность между минимальным и максимальным значением случайной величины в данном распределении. Совершенно очевидно, что два распределения, имеющие одинаковые средние арифметические, медиану и моду могут различаться по размаху, т.к. меры центральной тенденции не показывают насколько данные разбросаны на числовой оси.

Дисперсия– отношение суммы квадратов центральных отклонений к числу наблюдений. Оценка дисперсии определяется по формуле:

где x_i - каждое наблюдаемое значение признака;

- среднее арифметическое значение признака;

n - количество наблюдений.

Величина, представляющая собой квадратный корень из несме­щенной оценки дисперсии (S), называется стандартным отклонением или средним квадратическим отклонением. Для большинства исследова­телей привычно обозначать эту величину греческой буквой σ (сигма), а не S. На самом деле, σ - это стандартное отклонение в генеральной совокупности, a S - несмещенная оценка этого параметра в исследованной выборке. Но, поскольку S - лучшая оценка σ (Fisher R.A., 1938), эту оценку стали часто обозначать уже не как S, а как σ:

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения. При левосторонней, или положительной, асимметрии в распределении чаще встречаются более низкие значения признака, а при правосторонней, или отрица­тельной - более высокие (см. Рис. 1.5).

Показатель асимметрии (A)вычисляется по формуле:

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преиму­щественному появлению средних или близких к средним значений, об­разуется распределение с положительным эксцессом. Если же в рас­пределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двувершинное (см. Рис. 1.6).

Показатель эксцесса (E) определяется по формуле:

 

Эксцесс: а) положительный; 6) отрицательный

В распределениях с нормальной выпуклостью E=0.

Параметры распределения оказывается возможным определить только по отношению к данным, представленным по крайней мере в интервальной шкале. Как мы убедились ранее, физические шкалы длин, времени, углов являются интервальными шкалами, и поэтому к ним применимы способы расчета оценок параметров, по крайней мере, с формальной точки зрения. Параметры распределения не учитывают истинной психологической неравномерности секунд, миллиметров и других физических единиц измерения.На практике психолог-исследователь может рассчитывать пара­метры любого распределения, если единицы, которые он использовал при измерении, признаются разумными в научном сообществе.