Разбей выражения на две группы» 36:3, 72:6, 48:4, 70:5 , 88:8.
Т.к. в этом задании основание для клас-ции не указано, то дети могу предложить разные сп-бы разбиения на 2 группы: 1)по значению выражений (12,12,12,14,11)-значение выраж.12 и значение выраж. не 12; 2) Делимое круглое число и не круглое. Но, самое главное, если дети догадаются разбить выражения по хар-ру вычислит. приема: делимое представить либо суммой разрядных слагаемых, либо суммой удобных слагаемых: Разр.: 36:3, 48:4, 88:8; Удобн.: 72:6, 70:5.
2) "Раздели круги на две группы. По какому признаку это можно сделать? (По цвету.)".
Материал: несколько кругов одинакового размера, но разного цвета (два цвета).
3) «Разделите фигуры на две группы. По какому признаку это можно сделать? (По форме.)".
Материал: набор из фигур разной формы.
Билет 4 Понятие разбиения множеств на классы. Примеры разбиения множеств на два (три, четыре и т.д.) подмножества. Примеры заданий на классификацию из начального курса математики.
Классификация-разбиение объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.
(Считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2, Х3,…Хn, где Х1, Х2, Х3,…Хn – подмножества множества Х, если выполняются 2 условия:
1. подмножества Х1, Х2, Х3,…Хn попарно не пересекаются
2. объединение подмножеств Х1, Х2…..равно множеству Х
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, считается, что разбиение на классы не произошло).
Х-треугольники\Х1-тупоугольные\Х2-прямоугольные\Х3-остроугольные
Примеч)Утверждение (обратное) Если какое-либо отношение, заданное на множестве X порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.
Примеры заданий Какие из фигур на рисунке имеют одинаковую площадь? [На рисунке фигуры разбиты на клеточки; Р1=9, Р2=9, Р3=6, Р4=9, Р5=12, Р6=4, Р7=6, Р8=12. Отношение X: «иметь одинаковую площадь». Х={(Р1; Р2); (Р1;Р4); (Р2; Р1); (Р2; Р4); (Р1; Р1); (Р2; Р2); (РЗ; Р7); (РЗ; РЗ); (Р4; Р1); (Р4; Р2); (Р4;Р4); (Р5;Р5); (Р5; Р8); (Р6; Р6); (Р7; Р7); (Р7; РЗ); (Р8; Р8); (Р8; Р5)}]
5 билет – математические понятия
Математические понятия-понятия об идеальных объектах. Математика изучает окруж.мир, но изучает лишь отдельные его стороны, и предметы становятся математическими объектами. . Матем.объекты-результат выделения из предметов и явлений количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирование их от всех других св-в, след, матем.объекты реально не существуют, а существуют лишь в сознании людей, в тех знаках и символах, которые образуют математический язык. Любой матем.объект обладает существенными и несущественными свойствами.
Существенные свойства-св-ва, которые, присуще объекту и без которых он не может существовать.
Несущественные св-ва-св-ва, отсутствие которых не влияет на существование объектов.
Любое понятие хар-ся содержанием и объемом. Содержание- множество всех сущ-ых св-в объекта (S)
Объем-множество всех объектов, обозначенных одним термином( V)
Понятия находятся в отношении рода и вида тогда и только тогда, когда объем одно понятие является подмножеством объема другого понятия. Понятие парралелограм родовое по отношению к понятию ромб. Определение-предложение, с помощью которого рассказывается содержание понятия или устанавливается значение терминов. Неявные: остенсивные и контекстуальные. Явные имеют форму равенства
Определение понятий родовое понятие+видовое св-во
Уравнение-равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.
Структура определения понятия через род и видовое отличие. Требования к таким определениям. Использование определений через род и видовое отличие при решении задач на распознавание.
По способу выявления содержания определения делятся на: явные — раскрывают существенные признаки предмета; неявные — определение через отношение предмета к своей противоположности.
Наиболее распространенным видом явных определений является определение через род и видовое отличие и его разновидность — генетическое определение.
Определение через род и видовое отличие состоит из двух понятий: определяемого и определяющего. Включает два приема: 1) подведениеопределяемого понятия под более широкое по объему родовое понятие (род) и 2) указание видового отличия, то есть признака, отличающего определяемый предмет (вид этого рода) от других видов, входящих в данный род. Чек — ценная бумага, содержащая ничем не обусловленное письменное распоряжение чекодателя банку уплатить держателю чека указанную в нем сумму. Чек —определяемое понятие (А) — вид родового понятия «ценная бумага» (В); остальная часть определения — видовое отличие (с), отличает чек от векселя, облигации и т.д. А=Вс или Dfd ≡ Dfn (≡ знак эквивалентности).
Республика (определяемое понятие А) — форма правления (род В), при которой высшая государственная власть предоставлена выборному органу, избираемому на определенный срок (видовое отличие с).
Обычно указывают ближайший род, который содержит больше признаков общих с признаками определяемого понятия — иногда «определение через ближайший род и видовое отличие».
Генетическое определение — указывает на происхождение предмета, на способ его образования (шар — геометрическое тело, образованное вращением круг вокруг одного из своих диаметров).
Правила определения:
1. Определение должно быть соразмерным — объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего (А=Вс или Dfd ≡ Dfn). Если объем определяющего понятия шире объема определяемого — ошибка слишком широкого определения (A<Bc). Если объем определяющего понятия уже объема определяемого — ошибка слишком узкого определения (A>Bc).
2. Определение не должно заключать в себе круга — при определении одного понятия нельзя прибегать к другому понятию, определяемому при помощи первого (круг) (Вращение — движение вокруг оси; ось — прямая, вокруг которой происходит вращение). Разновидность круга в определении — тавтология — идеалист — человек идеалистических убеждений — определяющее понятие — повторение определяемого.
3. Определение должно быть ясным - должно указывать на известные признаки, не нуждающиеся в определении и не содержащие двусмысленности. Если понятие определяется через другое понятие, признаки которого неизвестны -ошибка определения неизвестного через неизвестное (определение х через у) — социализм — первая стадия коммунизма.
Определение не должно быть отрицательным — отрицательно определение указывает, чем не является предмет, не указывая, чем он является (Сравнение — не доказательство). На определение отрицательных понятий это правило не распространяется (Безбожник — человек, не признающий существование Бога).
Решение задач на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия основывается, как правило, на определении этого понятия через род и видовое отличие. Если определение содержит одно видовое свойство, то распознавание проводится по алгоритму:
1. Проверяем, принадлежит ли объект объему родового понятия.
2. Если окажется, что не принадлежит, то проверку прекращаем и делаем вывод, что объект не принадлежит объему понятия.
3. Если объект принадлежит объему родового понятия, то продолжаем проверку и выясняем, обладает ли объект видовым свойством .
4. Если объект обладает этим свойством, то делаем вывод о его принадлежности к объему видового понятия.
5. Если окажется, что объект этим свойством не обладает, то делаем вывод, что объект не принадлежит объему видового понятия.
Рассмотрим, например, задание №8 с.8 из учебника М. И. Моро и др. «Математика 3 класс». В нем надо найти (распознать) уравнения среди следующих записей и решить их:
1) 34+х; 2)78-25=53; 3)х+3>2;
4)16+d=29; 5)х+6=54; 6)х-19. [3, с.8]
Воспользуемся определением уравнения, которое чаще всего рассматривается в начальном обучении математике: «Уравнением называется равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой». В нем родовым для уравнения является понятие «равенство», а видовым отличием – «содержать неизвестное число, обозначенное буквой». Используя описанный выше алгоритм, получаем:
Запись 1) не является равенством. Следовательно, она не является уравнением.
Запись 2) - это равенство, но в нем нет неизвестного числа. Следовательно, она не является уравнением.
Запись 3) не является равенством. Следовательно, она не является уравнением.
Запись 4) - это равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой d. Следовательно, это уравнение.
Запись 5) - это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой х. Следовательно, это уравнение.
Запись 6) не является равенством. Следовательно, она не является уравнением.
Напомним, что так решают задачи на распознавание, если в определении имеется одно видовое свойство. Если же видовое отличие состоит из нескольких свойств, находящихся в конъюнктивной связи, объект принадлежит объему данного понятия, если он обладает всеми свойствами, включенными в видовое отличие. Если же связь между свойствами видового отличия дизъюнктивная, то объект принадлежит объему данного понятия, когда обладает хотя бы одним из свойств.
Билет 7. Остенсивные и контекстуальные определения понятий, их отличие от определений через род и видовое отличие. Примеры остенсивных и контекстуальных определений из начального курса математики.
При изучении понятий в нач. школе чаще всего используют неявные определения. Отличаются от определений через род и видовое отличие тем, что в их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее. Среди них различают остенсивные и контекстуальные. И те, и другие характеризуются некоторой незавершенностью. Они только связывают термины с определяемыми объектами. Поэтому после контекстуального и остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.
Остенсивные определения – раскрывают существенные признаки предметов путем их указания, показа.
Используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.
Примеры: Есть числа (4), есть знаки (<>). Это луч. – уч. Истоминой, 1кл, стр. 68, 62.
Контекстуальные определения – содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающий смысл вводимого понятия.
Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание.
Пример: Учащимся предлагают различные ситуации, в которых нужно найти неизвестный компонент. Например: задумали неизвестное число, увеличили его на 15 и получили 27, или [ ] : 2=45. Вставить число в окошко, чтобы запись была верной. Как проверить, правильно ли найдено неизвестное число? В математике принято неизвестное число обозначать строчными буквами латинского алфавита- такая запись называется - уравнение. – уч. Истоминой, 4 кл. стр.183 «уравнение». Тот же пример в учебнике Моро, 2 кл. для трехлетней нач.школы.
8 билет. Элементарные и составные высказывания. Правила определения значений истинности составных высказываний. Примеры элементарных и составных высказываний из начального курса математики.
Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Вопросительные, восклицательные предложения и обращения высказываниями НЕ являются!!!
Предложения, используемые в математике, могут быть записаны как на естественном (русском: «Некоторые числа делятся на 3») языке, так и на математическом («х+5=8»), с использованием символов.
Высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.
«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда», частицы «не», слова «неверно, что». Их называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными.
Итак, значение истинности элементарного высказывания определяют, исходя из его содержания с опорой на известные знания. Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и уметь выявлять логическую структуру высказывания.
Для выявления логической структуры составного предложения нужно установить:
1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение.
2) С помощью каких логических связок оно образовано.
Примеры:
Элементарных высказываний: Некоторые числа делятся на 3», «число 12-четное», «2+5 больше 8», «х+5=8».
Составных высказываний: «число 28 четное И делится на 7», «число х меньше ИЛИ равно 8», «число 14 НЕ делится на 4», «число 28 делится на 7 и на 9».
9. Высказывательная форма, ее область определения и множество истинности. Составные высказывательные формы, правила определения их множеств истинности. Примеры высказывательных форм из начального курса математики .
Высказываниемназывается такое предположение, относительно которого имеет смысл задать вопрос, истинно оно или ложно.
Высказывательная форма–предположение, содержащее одно или несколько переменных, которое обращается высказыванием при подстановке в него вместо переменного или переменных конкретных значений. Это предложение, относительно которого не имеет смысл задавать вопрос истинно оно или ложно.