Элементы топологии.

Понятия гладкой линии и гладкой поверхности. Формулы Френе. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Внутренняя геометрия поверхности.

Понятия гладкой линии и гладкой поверхности:

Формулы Френе: Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе, см. рис. 4). Соприкасающаяся и нормальная плоскости уже упоминались; третья плоскость, содержащая касательную и бинормаль, называется спрямляющей.

Если рёбра естественного трёхгранника в данной точке кривой принять за оси прямоугольной декартовой системы координат, то уравнение кривой в естественной параметризации раскладывается в окрестности этой точки в ряд по координате вдоль кривой:

где и — кривизна и кручение кривой в указанной точке.

Единичные векторы , соответственно для касательной, главной нормали и бинормали кривой, при движении вдоль кривой изменяются. При соответствующем выборе направления этих векторов из определения кривизны и кручения получаются формулы:

 

})

 

}}})

где дифференцирование идёт по дуге кривой. Формулы (2) называют формулами Френе́, или Френе-Серре.

 

Первая и вторая квадратичные формы поверхности: - общее наименование квадратичных форм от дифференциаловкоординат на поверхности, инвариантных при преобразованиях этих координат. К. ф. п. характеризуютосновные внутренние свойства поверхности и ее расположение в пространстве в окрестности данной точки;обычно выделяют так наз. первую, вторую и третью основные квадратичные формы.

Первая квадратичная форма поверхности характеризует внутреннюю геометрию поверхности вокрестности данной точки. Это означает, что с ее помощью можно производить измерения на поверхности.Пусть поверхность задана уравнением:

где ии v- координаты на поверхности;

- дифференциал радиус-вектора r( и, v )вдоль выбранного направления смещения из точки Мв бесконечноблизкую точку М' (см. рис. 1). Главная линейная часть приращения длины дуги ММ' выражается квадратомдифференциала dr:

и наз. первой основной К. ф. п. См. также Первая квадратичная форма поверхности.

Вторая квадратичная форма поверхности характеризует локальную структуру поверхности в окрестностиобыкновенной точки. Именно, пусть

- единичный вектор нормали к поверхности в точке М, где e=+ 1, если тройка векторов -правой ориентации, и e=-1 - в противоположном случае.

Удвоенная главная линейная часть 2d отклонения точки М' (см. рис. 2) поверхности от касательнойплоскости в ее точке Мравна

II = 2d = (- dr, dn)= L( и, v)du²+2М(u,v)dudv + N(u, v) dv²,

где L=(r_uu, n), M=(r_uv, n), N=(r_vv, n). Форма II наз. второй основной К. ф. п. См. также Вторая квадратичнаяформа поверхности.

Первая и вторая К. ф. п. обладают двумя важными совместными скалярными инвариантами относительнопреобразования координат на поверхности. Именно, отношение дискриминантов этих форм равно гауссовойкривизне поверхности в точке:

а выражение

определяет среднюю кривизну поверхности в точке.

Задание первой (положительно определенной) и второй К. ф. п. определяет поверхность с точностью до движения (Бонне теорема).

Внутренняя геометрия поверхности:

Внутренняя геометрия поверхности может быть построена как геометрия двумерного метрич. Это приводит к теории пространств общей теории относительности, в частности к Минковского пространствам. Если, наконец, отказаться и от квадратичной формы линейного элемента ds2, а рассматривать общую положительную однородную форму первой степени от dua, то получим Финслерово пространство. Еще более далеким обобщением внутренней геометрии поверхности является геометрия пространств со связностью данной группы, в частности геометрия пространств с аффинной связностью, проективной связностью и конформной связностью. Наиболее общеизвестной задачейвнутренней геометрии поверхностей является определение кривых наименьшей длины, соединяющих две заданные точки поверхности. Первая квадратичная форма поверхности характеризуетвнутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Это означает, что с ее помощью можно производить измерения на поверхности. Первая квадратичная форма, определяявнутреннюю геометрию поверхности, не позволяет судить о форме самой поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности характеризуетвнутреннюю геометрию поверхности - длины линий и углы между ними на поверхности.

Эти свойства составляют содержание раздела геометрии, именуемоговнутренней геометрией поверхностей. И они не имеют никакого отношения к тем различным характеристикам поверхностей, которые может различить наблюдатель, находящийся в1 окружающем пространстве и связанный с системой отсчета этого пространства. Две поверхности, например цилиндр и конус, представляются совершенно различными, если их рассматривать из окружающего пространства, и тем не менее их внутренние геометрии совершенно неразличимы, так как метрические свойства цилиндра и конуса могут быть описаны тождественными выражениями для квадрата элемента дуги. Если на каждой из этих двух поверхностей существует такая координатная система, что линейные элементы этих поверхностей характеризуются одними и теми же метрическими коэффициентами аар, то такие поверхности называются изометрическими. Поверхности цилиндра и конуса, очевидно, изометричны с евклидовой плоскостью, так как эти поверхности могут быть развернуты на плоскости без изменения длины элементов дуги и, следовательно, без изменения углов площади.