Прямые и плоскости в пространстве.

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей:

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пусть даны точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) имеет вид:

(8)

Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной оси O_x (у₂-у₁=0) или оси O_у (х₂-х₁=0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у=у₁ или х=х₁

Пример 4. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1;2) и B(-1;1).

Решение: Подставляя в уравнение (8) x₁=1, y₁=2, x₂=-1; y₂=1 получим:
откуда или 2у-4=х-1, или окончательно х-2у+3=0

Каноническое уравнение прямой:

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a, если - некоторая точка прямой a и - направляющий вектор прямой a.

Пусть - плавающая точка прямой a. Тогда вектор является направляющим вектором прямой a и имеет координаты (при необходимости смотрите статьюнахождение координат вектора через координаты точек). Очевидно, что множество всех точек на плоскости определяют прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : . Последнее равенство в координатной форме имеет вид .

Если и , то мы можем записать

Полученное уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнение также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .

Приведем пример канонического уравнения прямой на плоскости.

К примеру, уравнение является уравнением прямой в каноническом виде. Прямая, соответствующая этому уравнению, проходит через точку , а - ее направляющий вектор. Ниже приведена графическая иллюстрация.

Отметим следующие важные факты:

· если - направляющий вектор прямой и прямая проходит как через точку , так и через точку , то ее каноническое уравнение можно записать как , так и ;

· если - направляющий вектор прямой, то любой из векторов также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, любое из уравнений прямой в каноническом виде соответствует этой прямой.

Параметрические уравнения прямой:

Теорема. Следующая система уравнений является параметрическими уравнениями прямой:

, , (7)

где – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.

Пусть произвольная точка . Тогда векторы и являются по определению коллинеарными и по теореме о коллинеарности двух векторов следует, что один из них линейно выражается через другой, т.е. найдется такое число , что . Из равенства векторов и следует равенство их координат:

, , , ч.т.д.

Обратно, пусть точка . Тогда и по теореме о коллинеарности векторов ни один из них не может быть линейно выражен через другой, т.е. и хотя бы одно из равенств (7) не выполняется. Таким образом, уравнениям (7) удовлетворяюткоординаты только тех точек, которые лежат на прямой L и только они, ч.т.д.

Теорема доказана.

Нормальное уравнение плоскости:

В векторной форме уравнение плоскости имеет вид

, .

Если нормальный вектор плоскости – единичный,

, ,

тогда уравнение плоскости можно записать в виде

(нормальное уравнение плоскости).

– расстояние от начала координат до плоскости, , , – направляющие косинусы нормали

, , ,

где – углы между нормалью плоскости и осями координат соответственно.

Общее уравнение плоскости (8) может быть приведено к нормальному виду умножением на нормирующий множитель , знак перед дробью противоположен знаку свободного члена в (8).

Расстояние от точки до плоскости (8) находится по формуле, полученной подстановкой точки в нормальное уравнение

Общее уравнение плоскости, исследование общего уравнения плоскости:

Если в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz, то уравнением плоскости в этой системе координат трехмерного пространства называют такое уравнение с тремя неизвестными x, y и z, которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и не удовлетворяют координаты никаких других точек. Иными словами, при подстановке координат некоторой точки плоскости в уравнение этой плоскости мы получим тождество, а при подстановке в уравнение плоскости координат какой-либо другой точки получится неверное равенство.

Прежде чем записать общее уравнение плоскости, напомним определение прямой перпендикулярной к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из этого определения следует, что любой нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этот факт мы используем при доказательстве следующей теоремы, которая задает вид общего уравнения плоскости.

Теорема.

Всякое уравнение вида , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида при некотором наборе чисел A, B, C и D.

Доказательство.

Как видите, теорема состоит из двух частей. В первой части нам дано уравнение и нужно доказать, что оно определяет плоскость. Во второй части, нам дана некоторая плоскость и требуется доказать, что ее можно определить уравнением при некотором выборе чисел А, В, С и D.

Начнем с доказательства первой части теоремы.

Так как числа А, В и С одновременно не равны нулю, то существует точка , координаты которой удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство . Отнимем левую и правую части полученного равенства соответственно от левой и правой частей уравнения , при этом получим уравнение вида эквивалентное исходному уравнению . Теперь, если мы докажем, что уравнение определяет плоскость, то этим будет доказано, что эквивалентное ему уравнение также определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Равенство представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и . Иными словами, координаты плавающей точки удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы и . Тогда, учитывая факт, приведенный перед теоремой, мы можем утверждать, что если справедливо равенство , то множество точек определяет плоскость, нормальным вектором которой является , причем эта плоскость проходит через точку . Другими словами, уравнение определяет в прямоугольной системе координатOxyz в трехмерном пространстве указанную выше плоскость. Следовательно, эквивалентное уравнение определяет эту же плоскость. Первая часть теоремы доказана.

Приступим к доказательству второй части.

Пусть нам дана плоскость, проходящая через точку , нормальным вектором которой является . Докажем, что в прямоугольной системе координат Oxyz ее задает уравнение вида .

Для этого, возьмем произвольную точку этой плоскости. Пусть этой точкой будет . Тогда векторы и будут перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю: . Приняв , уравнение примет вид . Это уравнение и задает нашу плоскость. Итак, теорема полностью доказана.

Уравнение называется общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Общее уравнение плоскости вида , где - некоторое действительное число, отличное от нуля, определяет в прямоугольной системе координат Oxyzплоскость, совпадающую с плоскостью , так как задает то же самое множество точек трехмерного пространства. К примеру, уравнения и задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Немного поясним смысл теоремы.

В заданной прямоугольной системе координат Oxyz плоскость и ее общее уравнение неразрывно связаны. То есть, каждой плоскости соответствует общее уравнение плоскости вида (при определенных значениях чисел А, В, С и D), а этому уравнению соответствует указанная плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Приведем пример, иллюстрирующий последнюю фразу.

Посмотрите на рисунок с изображением плоскости в трехмерном пространстве в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz. Этой плоскости соответствует уравнение , так как ему удовлетворяют координаты любой точки плоскости. С другой стороны, уравнение определяет в заданной системе координат Oxyzмножество точек, образом которого является изображенная на рисунке плоскость.

Уравнение плоскости в отрезках:

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и cравны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Ozсоответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору: Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Сформулируем следующую задачу:

Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку
M(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно данному вектору →n = {A, B, C} .

Решение.Пусть P(x, y, z) — произвольная точка пространства. Точка P принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор
MP = {x − x₀, y − y₀, z − z₀} ортогонален вектору →n = {A, B, C} (рис.1).

Написав условие ортогональности этих векторов (→n, MP) = 0 в координатной форме, получим:

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0

(1)

Это и есть искомое уравнение. Вектор →n = {A, B, C} называется нормальным вектором плоскости.

Таким образом, чтобы написать уравнение плоскости, нужно знать нормальный вектор плоскости и какую–нибудь точку, принаждежащую плоскости.

Если теперь в уравнении (1) раскрыть скобки и привести подобные члены, получим общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0 ,

где D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀ .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, в ней заданы три несовпадающие точки , которые не лежат на одной прямой. Поставим перед собой следующую задачу: написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Покажем два способа ее решения.

Первый способ составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Известно, что общее уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость , которая проходит через точку , а нормальный вектор плоскости имеет координаты . Следовательно, мы можем составить общее уравнение плоскости, если знаем координаты точки, через которую она проходит, и координаты нормального вектора этой плоскости. От этого знания и будем отталкиваться при нахождении уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Итак, из условия задачи нам известны координаты точки (даже координаты трех точек), через которую проходит плоскость, уравнение которой нам требуется составить. Осталось отыскать координаты нормального вектора этой плоскости.

Так как нормальный вектор плоскости и любой ненулевой вектор этой плоскости перпендикулярны, то вектор перпендикулярен как вектору , так и вектору . Следовательно, в качестве вектора можно принять векторное произведение векторов и . Так как и (при необходимости обращайтесь к статье вычисление координат вектора по координатам точек), то . После вычисления записанного определителя, станут видны координаты нормального вектора , и можно записывать требуемое уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Второй способ нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Очевидно, что множество точек определяет в прямоугольной системе координатOxyz в трехмерном пространстве плоскость, проходящую через три различные и не лежащие на одной прямой точки , тогда и только тогда, когда три вектора и компланарны.

Следовательно, должно выполняться условие компланарности трех векторов и , то есть, смешанное произведение векторов должно быть равно нулю: . Это равенство в координатной форме имеет вид . Оно, после вычисления определителя, представляет собой общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .

Далее, от полученного общего уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки, Вы при необходимости можете перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости.

Осталось рассмотреть решения примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через три несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки.

Расстояние от точки до плоскости:

Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y, M_z) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:

d =	\|A·M_x + B·M_y + C·M_z + D\|
√A² + B² + C²

8. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости в пространстве.