Евклидовы пространства. Ортонормированные базы.

Скалярное произведение можно определить алгебраически и геометрически.

Алгебраически: ;

а)

б)

Геометрически: - длина вектора а на длину вектора b и на косинус угла между ними.

Определение: Векторное n-мерное пространство над полем действительных чисел в котором определена операция скалярного умножения и выполняются свойства 1-4 называется евклидовым пространством(евклидово векторное пространство).

Свойства скалярного произведения:

1) , причем ,если

2) свойство коммутативности

3) , где k-число

4)

Ортогональность -перпендикулярность. Вектора базиса перпендикулярны.

В ортонормированных базисах их длина равна единице. Все вектора базиса попарно перпендикулярны.

Определение: Вектор евклидова пространства называется нормированнымили единичным если его модуль равен единице.

Определение:Базис называется ортонормированным, если:

1) этот базис ортогональный

2) каждый из базисных векторов является нормированным.

Базис является ортогональным если:

1)

2)

15. Многочлены от одной переменной. Деление многочленов.

Полином - это старое название многочлена. Поэтому все, что присуще многочлену, присуще и полиному.

Многочленом от одной переменнойназывается функция, которая может быть представлена в виде: (сумма степенных функция), где a-свободный член, а0, a1, a2...-некоторые действительные числа.

Сумма, разность и произведение двух многочленов так же являются многочленами.

Произведение:

Так как, сумма разность и произведение многочленов является многочленом, то многочлены образуют подкольцо кольца всех функций действительной переменнойи обозначается: R[x].

Определение:два многочлена f(x) и g(x) являются равными, если коэффициенты при соответствующих степенях х равны. Пример: f(x)=g(x); и

Свойства операций сложения и умножения многочленов:

1. Коммутативность сложения: f(x)+g(x)=g(x)+f(x)
2. Ассоциативность сложения: f(x)+[g(x)+p(x)]=[f(x)+g(x)]+p(x)
3. Дистибутивность умножения относительно сложения: левое: f(x)*[g(x)+p(x)]=f(x)*g(x)+f(x)*p(x); правое: [f(x)+g(x)]*p(x)=f(x)*p(x)+g(x)*p(x).
4. Существование нуля. Нулевым многочленомназывается многочлен у которого все коэффициенты равны нулю:
5. Существование противоположного элемента: f(x)+[-f(x)]=0(нулевой многочлен).

Выполнение свойств 1-5 означает, что многочлены с действительными коэффициентами сами образуют кольцо относительно операции сложения и умножения.

Определение: Степенью не нулевого многочлена называется наибольшее из числа k таких, что:

Пример: (Наибольшая степень х не равная нулю)

где 5-наибольшая степень х и значит сам многочлен пятой степени.

старший член.

Многочлен, старший член которого имеет коэффициент равный единице называется нормированным.

Пример: где при стоит единица называется нормированным.

Деление с остатком!

В общем случае в кольце многочленов деление в общем смысле слова как правило не возможно.

Например: деление на x+1

Однако, имеется возможность деления с остатком.

Теорема:Пусть f(x)-многочлен с коэффициентами из кольца K. Для любого многочлен f(x) можно единственным образом представить в виде: где С-остаток многочлена, а g(x)-неполное частное.

Определение: Число называется корнем многочлена f(x) если:

Пример:

Следствие теоремы-теорема Безу: Многочлен f(x) делится на тогда и только тогда, когда его корень.

Разделить многочлен на двучлен можно с помощью схемы Горнера.

Пример: Разделить многочлен на двучлен

	1;( ;не изменяется	0; ;(2*1)+0	-3; ;(2*2)-3	1;(x); (2*1)+1	5; ;(2*3)+5
2;(x=2)

, C=1

Для двух многочленов f(x) и g(x) можно найти многочлены p(x) и r(x) такие, что будет справедливо равенство:

Причем степень r(x) меньше степени g(x). r(x)-остаток от деления.

Определение:НОД(наибольший общий делитель) отличный от нуля многочленов f(x) и g(x) является многочлен d(x) который является их общим делителем и вместе с тем сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

Для нахождения НОД используется алгоритм Евклида: Пусть даны многочлены f(x) и g(x). Делим f(x) на g(x) и получаем остаток . Затем делим g(x) на получаем остаток . делим на и т.д. пока не получим НОД, т.е. остаток будет равен нулю.

 

 

16. Многочлены от нескольких переменных, симметричные многочлены.

Пусть K некоторое множество. Многочленом от с коэффициентами из K называется выражение вида: где -элементы кольца K, которое пробегает конечное множество неотрицательных целых чисел.

Пример:

Будем называть всякое формальное слагаемое входящее в состав многочлена будем называть членом многочлена,а -его коэффициентом.

Многочлены будем считать равными,если для любых коэффициенты при равны.

Из определения многочленов следует, что порядок членов в записи многочленов не существенен и что приписывание или отбрасывание членов с нулевыми коэффициентами не меняет многочлена.

Определим сложение многочленов следующим образом:

Пусть даны два многочлена: и

Тогда получим:

Произведение многочленов:

, где , где

Пример: перемножаем каждый член на каждый как обычное умножение.

Свойства операций над многочленами:

1) Коммутативность сложения

2) Ассоциативность сложения

3) Существование нуля. Роль нулевого элемента играет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю.

4) Существование противоположного многочлена:

5) Дистрибутивность умножения относительно сложения: f,g,q-многочлены: f(g+q)=fg+fq правая и левая: (g+q)f=gf+qf

Так как выполняются свойства 1-5 то многочлены образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Многочлены, не содержащие , то есть состоящие из одного свободного члена будем отождествлять с элементами кольца K, основываясь на том, что свойства 1-5 выполняются.

6) Коммутативность умножения fq=qf

7)Ассоциативность умножения

8)Существование единицы. Роль единицы играет многочлен состоящий из единицы.

Таким образом, многочлены от n-переменных представляют собой коммутативное, ассоциативное кольца с единицей.Делителей нуля нет.

Определение: Степенью не нулевого многочлена равны сумме их степеней.