Задачи оптимального проектирования

При создании технического устройства различного назначения обычно часть его параметров можно изменять в определенных пределах. Это приводит к тому, что при проектировании появляется некоторое множество вариантов создаваемого устройства. В результате возникает проблема выбора из этого множества альтернатив наилучшей альтернативы с точки зрения критерия оптимальности . Соответствующие такому выбору задачи оптимизации часто называют задачами оптимального проектирования.

Пример 1.6.Одной из наиболее простых задач оптимального проектирования является выбор размеров емкости определенной формы, имеющей наибольший объем при заданной площади поверхности или же наименьшую площадь при заданном объеме.

Пусть требуется спроектировать бак горючего в виде прямого кругового цилиндра заданного объема V , на изготовление которого будет затрачено наименьшее количество листовой стали. В качестве параметров оптимизации выберем радиус R и высоту Н цилиндра. Тогда затраты материала на изготовление бака будет определять суммарная площадь S его боковой поверхности и двух плоских днищ. Таким образом, необходимо минимизировать целевую функцию S = 2 π R ( H + R ) при ограничении типа равенства π R 2Н = V , т. е. решить задачу нелинейного программирования .

Если из целевой функции при помощи ограничения исключить Н и записать ее в виде

то произведение слагаемых не будет зависеть от R . и для нахождения ее минимального значения удобно использовать … неравенство между геометрическим и арифметическим средними…:

Равенство имеет место только при равенстве слагаемых, т. е. при , тогда Учитывая ограничение, получаем

т. е. высота оптимального бака равна его диаметру.

При изготовлении одного бака нужно учитывать, что для заготовки круглого днища площадью π R 2придется взять квадратный лист площадью 4 R 2, причем после раскроя оставшуюся часть листа использовать будет практически невозможно. Поэтому более обоснованно в качестве целевой минимизировать функцию при прежнем ограничении π R 2H = V .

Тогда в результате процедуры, аналогичной рассмотренной, получим Если предстоит изготовить крупную партию баков, то раскрой листовой стали при заготовке днищ можно провести более рационально, располагая соседние центры днищ в вершинах правильных треугольников со стороной 2 R . Тогда расход листа на каждое днище будет соответствовать площади правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса R . При этом следует минимизировать целевую функцию при том же ограничении. В итоге получим

Отметим, что при постановке задач оптимального проектирования важно, чтобы математическая модель объекта оптимизации достаточно полно отражала именно те свойства объекта, улучшение которых является целью оптимизации. Разработка такой модели обычно требует использования сведений из соответствующих инженерных дисциплин или областей техники.

Пример 1.7.Из курса сопротивления материалов известно, что допустимая нагрузка, воспринимаемая прямолинейным стержнем, работающим на растяжение или сжатие (без потери устойчивости прямолинейной формы равновесия), пропорциональна площади F его поперечного сечения. При сжатии стержень может потерять устойчивость, изгибаясь в некоторой плоскости. Сжимающая сила, вызывающая потерю устойчивости стержня, пропорциональна геометрическому моменту инерции I его сечения относительно центральной оси тела , перпендикулярной плоскости изгиба. От значения I также зависит прогиб стержня, изгибаемого в этой плоскости, но зависимость эта обратно пропорциональная. Допустимая нагрузка при изгибе стержня пропорциональна моменту сопротивления W = I / y тего сечения, где у т— расстояние до наиболее удаленной от центральной оси точки сечения. Эти сведения важны для выбора критерия оптимальности при проектировании отдельных элементов конструкций, воспринимающих нагрузку.

Предположим, что из круглого бревна радиуса R необходимо выпилить балку с прямоугольным поперечным сечением (рис. 1.5) так, чтобы ее можно было наиболее эффективно использовать в строительной конструкции. Если балка будет использована в качестве стойки, работающей на сжатие без опасности потери устойчивости, то целесообразно максимизировать площадь F ее сечения, выбрав его в виде квадрата со стороной вписанного в окружность радиуса R . Максимальное значение площади сечения будет ...

Рис. 1.5

Таким же должно быть сечение стойки, если возможна потеря ее устойчивости в любой плоскости, проходящей через ее ось. Действительно, нетрудно покачать, что в этом случае момент инерции сечения относительно любой оси, лежащей в плоскости квадрата и проходящей через его центр, постоянен и равен I = R 4 / 3. Если же плоскость изгиба стойки при возможной потере устойчивости предопределена условиями ее крепления, то целесообразно выбрать такое отношение сторон прямоугольника, чтобы момент инерции сечения относительно его центральной оси, перпендикулярной этой плоскости, был максимальным. Обозначим через b ширину сечения вдоль этой оси, а через h его высоту (см. рис. 1.5). Тогда получим

(1.4)

Но стороны прямоугольника должны удовлетворять ограничению b 2+ h 2≤ 4 R 2. Таким образом, приходим к задаче нелинейного программирования

Несложно установить, что максимальное значение будет достигнуто при оптимальных высоте и ширине сечения балки.

Такое же поперечное сечение балки следует выбрать, если она нагружена в рассматриваемой плоскости изгибающей нагрузкой. При таком выборе жесткость балки будет максимальной, а ее прогиб — минимальным. Поскольку для рассматриваемого прямоугольного сечения балки у m= h / 2, то для момента сопротивления получим W = I / y m= bh 2 / 6. В данном случае задача нелинейного программирования принимает вид

Ее решением будет

Задачи оптимального планирования

Задачи математического программирования часто возникают в экономике, при планировании производственных процессов и количественной оценке альтернатив , связанных с принятием управленческих решений. Постановка этих задач обычно основана на анализе и сопоставлении расходуемых ресурсов и полученного результата. Такой подход принято называть методом «затраты — эффективность». Применение этого подхода приводит, как правило, к двум связанным между собой типам задач: либо максимизировать эффективность при ограниченных затратах, либо обеспечивать эффективность не ниже заданной при минимальных затратах. Таким образом, критерием оптимальности может быть количественное выражение затрат или эффективности. Рассмотрим несколько примеров такого подхода.

Пример 1.11.Предположим, что предприятие может выпускать продукцию п наименований, для производства которой требуется т видов ресурсов (сырья, энергии, оборудования и т. п.). Обозначим через а ijзатраты i -го вида ресурсов, на производство единицы продукции j - го наименования, а через bjи xjполные объемы располагаемых ресурсов и планируемые объемы выпуска продукции соответственно. Если к тому же по каждому наименованию продукции заданы нижняя ajи верхняя Ajграницы объема выпуска продукции, то можно записать ограничения типа неравенства

Если эффективность производства продукции характеризовать суммарной выручкой от продажи продукции, то оптимальный план х = (x 1, x 2, …, xn) выпуска продукции должен удовлетворять этим ограничениям и обеспечивать максимум целевой функции

где dj— цена единицы продукции j -го наименования. В данном случае и целевая функция, и ограничения линейны относительно параметров оптимизации xj, Поэтому рассмотренная задача оптимального планирования выпуска продукции является задачей линейного программирования .

Пример 1.12(транспортная задача). Пусть необходимо составить план перевозок некоторого товара с т складов в п магазинов так;чтобы затраты на эти перевозки были минимальными. Предположим, что на i -м складе, имеется aiединиц товара, а j -й магазин, сделал заказ на bjединиц этого товара, причем стоимость его перевозки с i -го склада в j -й магазин равна с ij. Обозначим через х ijпланируемое количество товара, перевозимое с i -го склада в j - й магазин, тогда стоимость его перевозки составит с ijxij. Общие затраты на перевозки — это сумма затрат на перевозки со всех складов во все магазины. Поэтому оптимальный план перевозок соответствует минимуму целевой функции

что должно быть достигнуто выбором m п значении xij≥ 0, которые в данном случае являются параметрами оптимизации. Но при этом необходимо обеспечить потребности магазинов, т. е. должны быть выполнены ограничения типа равенства

Однако с любого склада нельзя вывезти товара больше, чем там его находится. Следовательно, должны быть выполнены ограничения типа неравенства

Отметим, что сформулированная задача оптимизации, относящаяся к классу задач линейного программирования, имеет решение, если сумма заказов магазинов не превышает суммарного запаса товара на всех складах, т. е.

Пример 1.13(задача о диете). Рассмотрим задачу построения оптимального рациона питания. Обозначим: п — число видов пищевых продуктов; т — число видов питательных веществ; aij— число единиц i -го питательного вещества в единице j -го продукта; bi— ежегодная потребность в i - м питательном веществе; cjстоимость единицы j - го продукта. Выясним, сколько единиц каждого пищевого продукта нужно употребить за рассматриваемый период (в данном случае за год) таким образом, чтобы, обеспечив потребности в каждом питательном веществе, затратить минимальное количество денег.

Назовем рационом вектор х = (x 1, x 2, …, xn)T, где х j— ежегодное потребление j -го пищевого продукта. Речь идет; таким образом, о построении рациона минимальной стоимости. Математически эта задача может быть сформулирована следующим образом: минимизировать целевую функцию

при ограничениях

(1.16)

Пример 1.14.Предположим, что предприятие может производить п изделий, причем затраты на производство х iединиц i -го изделия составляют где ai— затраты на производство одного i -го изделия (при мелкосерийном или индивидуальном производстве обычно ki≥ 1, а при крупносерийном — ki< 1). Предположим также, что должно быть выполнено так называемое условие на ассортимент: предприятие должно выпустить не менее biединиц i -го изделия, т. е. имеем п ограничений типа неравенства xi≥ bi, Если эффективность производства изделий определить как суммарную выручку от их продажи, то получим еще одно ограничение типа неравенства

где di, — цена единицы i -го изделия, a b — заданный нижний уровень эффективности. При этих ограничениях необходимо минимизировать нелинейную целевую функцию

характеризующую суммарные затраты на производство изделий. Следовательно, сформулированная задача является задачей нелинейного программирования .

Пример 1.15.Пусть сеть газопроводов связывает между собой т месторождений A . газа и п пунктов Bj, его потребления с известными значениями pj≥ 0 расхода газа в единицу времени. Производительность gii -го месторождения, ограничена заданным значением Gi, т. е. заданы ограничения типа неравенства 0 ≤ gi≤ Gi. Затраты на добычу газа на i -м месторождении, являются функцией φi( gi) производительности gi. Сеть состоит из K участков, причем стоимость подачи газа по k -му участку, является функцией fk( qk) расхода qkчерез этот участок. В пунктах потребления газа имеем ограничения типа равенства

где — множества участков сети с входящими в j -й пункт и выходящими из него потоками газа соответственно. Аналогично для месторождений газа получаем ограничения типа равенства

Оптимальным планом добычи газа на месторождениях и распределения потоков газа по участкам сети газопроводов будет план, который удовлетворяет указанным ограничениям и обеспечивает минимум общих затрат

на добычу и подачу газа. Все ограничения в сформулированной задаче линейные. Поэтому в частном случае линейных функций φi( g i) и fk( qk) она будет задачей линейного программирования, но в общем случае задачей нелинейного программирования.