Диаметры линий второго порядка

Важное и неожиданное на первый взгляд свойство линий второго порядка (эллипса, гиперболы и параболы) выражает следую­щая теорема:

Теорема 13.Середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой.

В том случае, когда линияL есть парабола, FP=PS (см. п° 101), следовательно, p=DF т. е. р равно расстоянию от фокуса до директрисы. Таким образом, в этом случае величина р совпадает с параметром параболы, с которым мы встречались уже ранее, обозначая его той же буквой.

Доказательство. 1) Пусть данная линия есть эллипс

(рис. 66). Обозначим через k общий угловой коэффициент параллельных хорд; тогда уравнение каждой изних может быть написано в виде

(2)

здесь l для разных хорд имеетразные значения.

Будем искать концы хорды, определяемой уравнением (2) при каком-нибудь значении l. Решая совместно уравнения (1) и (2), исклю­чим из них у, получим:

Рис. 66.

или

(3).

Корни х₁, х₂ этого квадратного уравнения суть абсциссы кон­цов M₁ ,M₂ хорды. Пусть точка - середина этойжехорды; тогда

.

Но, по известной теореме о сумме корней квадратного уравнения,

.

Следовательно,

.

Зная x_о, мы найдем у из уравнения (2):

Итак,

 

(4)

Меняя здесь l, мы будем получать координаты середин различных параллельных между собою хорд эллипса, но при этом, как видно из соотношений (4), x₀ , у₀ будут неизменно связаны уравнением

,

или , где

(5).

Таким образом, середины всех хорд лежат на прямой

(6).

2) Пусть данная линия есть гипербола

(7)

(рис. 67, а, б). Обозначим через k общий угловой коэффициент парал­лельных хорд; тогда уравнение каждой из них может быть написано в виде

(8)

Заметим заранее, что хорды гиперболы не могут быть параллельными ее асимптотам (так как каждая прямая, параллельная асимптоте, пересекает гиперболу только в одной точке); поэтому и

Рис. 67.

 

Будем искать концы хорды, определяемой уравнением (8) при каком-нибудь значении I. Решая совместно уравнения (7) и (8), исключим из них у, мы получим:

или

(9)

Так как то . Следовательно, уравнение (9) является квадратным. Корни этого квадратного уравнения х₁ ,х₂ суть абсциссы концов M₁, M₂ хорды. Пусть М₀(х₀; у₀)— середина этой же хорды; тогда

.

Применяя теорему о сумме корней квадратного уравнения, находим;

.

Следовательно, Зная х_о , мы найдем y₀ изуравнения (8);

.

Итак,

(10)

Меняя здесь l мы, будем получать координаты середин различных параллельных между собою хорд гиперболы, но при этом, как видно из соотношений (10), х₀, у₀ будут неизменно связаны уравнением

,

или , где

(11).

Таким образом, середины всех хорд лежат на прямой

(12).

3) Пусть, наконец, данная линия есть парабола

у²=2рх (13)

(рис. 68). Обозначим через k общий угловой коэффициент параллельных хорд; тогда уравнение каждой из них может быть написано в виде

y=kx+l, (14)

Заметим заранее, что хорды параболы не могут быть параллельны ее оси (так как каждая прямая, параллельная оси, пересекает параболу только в одной точке); поэтому k 0.

Будем искать концы хорды, определяемой уравнением (14) при каком-нибудь значении l. Решая совместно уравнения (13) и (l4) a, исключимиз них у, мы получим:

или

(15)

Так как k 0, то уравнение (15) является квадратным. Корни этого уравнения x₁, х₂ суть абсциссы концов М₁ M2 хорды. Пусть М₀(х₀ ; у₀) - середина этой же хорды. Мы имеем:

по теореме о сумме корней квадратного уравнения

.

Следовательно, . Зная x_о, мы найдем у₀ из уравнения (14):

.

Итак,

(16)

Меняя здесь l, мы будем получать координаты середин различных параллельных между собой хорд параболы; при этом, как видно из соотношений (16), у_о будет оставаться неизменно равным числу . Таким образом, середины всех хорд лежат на прямой, которая параллельна оси абсцисс

(17)

и вместе с тем, параллельна оси параболы.

 

Рисунок 68

 

Мы могли бы теперь сказать, что теорема доказана вполне, если бы не было одного дефекта в технике наших вычислений. Дело в том, что мы представляли хорды линии второго порядка уравнением с угловым коэф­фициентом (вида ). Наши выкладки, следовательно, теряют смысл, если рассматриваемые хорды параллельны оси Оу (так как прямые, параллельные оси Оу, не имеют углово­го коэффициента). Однако для таких хорд утверждение теоремы сразу вытекает из свойств симметрии эллипса, гиперболы и параболы. В самом деле, эллипс, гипербола и парабола, заданные каноническими уравнениями (1), (7) и (13), симметричны относительно оси Ох. Сле­довательно, и в том случае, когда хорды этих линий параллельны оси Оу, середины их лежат на одной прямой (на оси Ох).

Прямая, проходящая через середины параллельных хорд линии второго порядка называется ее диаметром.

Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр; это ясно геометрически (так как центр является серединой всякой проходящей через него хорды), а также сразу усматривается из уравнений (6) и (12) п° 109.

Согласно уравнению (17) все диаметры параболы параллельны ее оси.

Отметим некоторые свойства диаметров эллипса и гиперболы.