Исследование зависимости показателей качества, измеряемых в нечисловых шкалах

p_*,1 , p_*,2 , …, p_*,q (35)

Таким образом, проверяемая гипотеза состоит в том, что распределение частот, с которыми в данной совокупности встречаются возможные значения одного из показателей, не зависит от того значения, который принял другой.

Разумеется, точное выполнение условия (33) для всех i и j на практике встречается крайне редко. Поэтому разности

p_i,j - p_i,* p_*,j = = (n_i,j - n_i,* n_*,j / n )

могут рассматриваться как меры отклонения реальных данных от проверяемой гипотезы (33). Установлено, что если X и Y независимы, то величина

χ²_расчет = (36)

подчиняется распределению “хи-квадрат” с (p-1)×(q-1) степенями свободы.

Если при заданном уровне значимости α (на практике его часто выбирают равным 0.05 [115]) значение χ²_расчет превосходит α-процентную точку χ²_табл распределения χ² с (p-1)(q-1) степенями свободы, т.е.

χ²_расчет > χ²_табл ,

то гипотезу о независимости показателей X и Y следует отвергнуть. В противном случае будем говорить, что имеющиеся данные результатов измерения показателей не противоречат проверяемой гипотезе и, следовательно, отвергать ее нет оснований.

Напомним, что если рассматриваемый показатель измеряется в шкале наименований, то в результате измерения на данном множестве объектов устанавливается отношение эквивалентности, а если он измеряется по ординальной шкале, то устанавливаемое отношение является квазипорядком.

Мера «похожести» двух бинарных отношений R^(X) и R^(Y), определяемых показателями X и Y, вычисляется по формуле

d(R^(X) , R^(Y)) = ç r^(X)_i,j - r^(Y)_i,j ç, (37)

где R^(X) = { r^(X)_i,j}, R^(Y) = { r^(Y)_i,j} – матрицы бинарных отношений R^(X) и R^(Y), обе имеющие размеры n·n, где n – число объектов в данной совокупности.

С добавлением новых объектов размеры обеих матриц возрастают, что на практике при большом числе объектов приводит к существенным неудобствам. С этой точки зрения таблица сопряженности N= { n_i,j }, с размерами p×q, имеет ряд преимуществ: ее размеры, как правило, невелики, так как различных возможных уровней показателей качества Xи Y на практике не бывает много. Кроме того, добавление новых объектов не изменит значения p и q (за исключением тех случаев, когда число пунктов шкалы измерения показателя заранее неизвестно).

Рассмотрим вопрос о том, какой вид приобретает формула (37) для вычисления расстояния между результатами измерения показателей X и Y, в тех частных случаях, когда оба они измеряются по шкале наименований или по ординальной шкале и выразим это расстояние через элементы таблицы сопряженности.

Пусть N= { n_i,j } - таблица сопряженности результатов измерения показателей X и Y, которые оба измеряются по шкале наименований. Тогда можно доказать (см. работу, например, [116], что расстояние (37) между отношениями эквивалентности R^(X) и R^(Y), порождаемыми результатами измерений, будет иметь следующий вид:

d(R^(X), R^(Y)) = (38)

Если оба показателя X и Y измеряются по ординальной шкале, то расстояние между бинарными отношениями R^(X) и R^(Y) может быть представлено с помощью элементов таблицы сопряженности в следующем виде:

d(R^(X), R^(Y)) = . (39)

С помощью таблиц сопряженности и формул (38), (39) можно легко находить расстояния между качественными показателями. В случае, когда имеется несколько таких показателей: X₁, X₂, …, X_g, попарные расстояния между ними можно представить с помощью матрицы D = {d_i,j} (i,j = 1,…, g), элементы которой определяются равенством:

d_i,j = d(R⁽ⁱ⁾, R^(j)) , (40)

где R⁽ⁱ⁾ – бинарное отношение, порождаемое показателем X_i (i = 1,…, g).

Такой случай имеет место, например, когда качество оценивалось комитетом из g экспертов, то есть были получены g различных ранжировок одного и того же множества объектов.

Для элементов матрицы D будут выполняться очевидные условия:

d_i,i = 0 ; d_i,j = d_j,i , (i,j = 1,…, g).

Анализ матрицы D иногда приводит к выводу, что показатели естественным образом разбиты на несколько групп, так что расстояния внутри одной группы относительно невелики, а расстояния между группами существенно больше. Более детальное рассмотрение состава таких групп может позволить найти объяснение этому факту и даже найти интерпретацию каждой из выделенных групп показателей. Таким образом, исследование матрицы D есть один из возможных способов анализа структуры данного множества показателей качества.

Естественным образом возникает задача о построении такого показателя X^*, что отвечающее ему бинарное отношение R^(*) будет обладать следующим свойством: сумма расстояний от R^(*) до бинарных отношений R⁽ⁱ⁾ является минимальной. Это условие можно записать в виде

min = ,

где минимум берется по всевозможным бинарным отношениям R.

Если отношение R^(*), обладающее вышеуказанным свойством, удастся построить, то показатель X^* можно рассматривать в качестве усредненного показателя, который представляет собой некий компромисс между всеми исходными показателями X₁, X₂, …, X_g.

Обозначим через {r^*_j,k} матрицу бинарного отношения R^(*) и аналогичным образом через {r ⁽ⁱ⁾_j,k} (i = 1,…, g) – матрицы отношений R⁽ⁱ⁾, где j, k = 1,…, n – число оцениваемых объектов. Тогда для искомого отношения R^(*) должно выполняться то условие, что сумма

F (R^(*) ) = (41)

принимает минимальное значение по всем {r^*_j,k}.

Пусть c_j,k - число показателей (среди рассматриваемых X₁, X₂,…, X_g), по которым j-й объект не хуже, чем k-й объект (j, k = 1,…, n). Тогда

c_j,k = . (42)

Поскольку все элементы r^*_j,k и r ⁽ⁱ⁾_j,k могут принимать только значения 0 или 1, то

(r^*_j,k)² = r^*_j,k , (r ⁽ⁱ⁾_j,k)² = r ⁽ⁱ⁾ _j,k . (43)

Поэтому в (41) можно заменить модуль разности çr ⁽ⁱ⁾_j,k - r^*_j,k ç на квадрат разности (r ⁽ⁱ⁾_j,k - r^*_j,k)². Тогда (41) можно записать в виде

F(R^(*) ) = =

= (44)

Последнее равенство записано с использованием (42) и (43). Выбор отношения R^(*) может повлиять только на величину вычитаемого в круглых скобках в выражении (44). Поэтому минимум F(R^(*)) достигается тогда, когда достигается максимум выражения

= r^*_j,k . (45)

Чтобы (45) достигало своего максимума, нужно, чтобы r^*_j,k равнялось единице всякий раз, когда c_j,k > g/2 , и равнялось нулю в противном случае.

Таким образом, мы получили следующее простое правило построения матрицы {r^*_j,k} искомого бинарного отношения R^(*):

1, если c_j,k > g/2;

r^*_j,k = 0, если c_j,k < g/2 . (46)

Данное правило можно назвать «правилом большинства», так как оно определяет, что произвольные два объекта из рассматриваемого множества будут находиться в отношении R^(*) в том случае, если число исходных отношений R⁽ⁱ⁾ (i = 1,…, g), которые справедливы для данных двух объектов, – более половины от их общего числа g.

К сожалению, на практике данный простой метод построения такого оптимального (усредненного) показателя X^* оказывается применимым далеко не всегда. Дело в том, что, как мы помним, исходные показатели X₁, …, X_g, как правило, представляют собой признаки объектов, измеряемые по ординальной или номинальной шкале. Соответственно порождаемые ими на данном множестве объектов бинарные отношения R⁽¹⁾, R⁽²⁾, …, R^(g) являются или отношениями эквивалентности, или отношениями квазипорядка. В то же время построенное согласно (2.46) бинарное отношение R^(*) вовсе не обязательно будет того же типа, что и отношения R⁽ⁱ⁾ (i = 1,…, g). Для иллюстрации этого обстоятельства можно привести следующий пример.

Пример. Пусть произведена оценка качества пяти объектов по трем показателям X₁, X₂, X₃, которые измеряются по ординальной шкале (например, ранжировка объектов тремя различными экспертами). Предположим, что результаты оценивания имеют следующий вид: