Сложение и вычитание вероятностей

Суммой А + В событий А и В в одном опыте называется событие С, состоящее в появления события А или события В, или обоих событий одновременно.

Произведением А х В событий А и В называется событие С, состоящее в том, что произойдут события А и В.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы событий А + В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

 

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А х В).

 

Если события А и В несовместны, то Р(А х В) = 0 и, следовательно, теорема сложения вероятностей примет вид:

 

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность события В, вычисленная в предположениях, что событие А уже наступало, называется условной вероятностью и обозначается Р_А(В).

Если А и В независимы, то

 

Р_В(А) = Р(А),

Р_А(В) = Р(В).

 

Если А и В зависимы, то

 

Р_В(А) ≠ Р(А), Р_А(В) ≠ Р(В).

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е.

 

Р(А х В) = Р(А) х Р_А(В) = Р(В) х Р_В(А).

 

Если события А и В независимы, то условия вероятности равны безусловным и теорема умножения вероятностей примет вид:

 

Р(А х В) = Р(А) х Р(В).

Пример. Единица продукции может содержать два вида несоответствий: царапины и сколы. Вероятность появления царапин равна 10%, вероятность появления сколов равна 5%. Необходимо найти вероятность того, что единица продукции будет несоответствующая.

Решение. Рассмотрим события:

А – “единица продукции содержит царапину”;

В – “единица продукции содержит скол”;

С – “единица продукции несоответствующая”.

С = А + В,

Так как события А и В независимы, то по теореме сложения и умножения вероятностей получаем:

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АхВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А) х Р(В) =

= 0,1 + 0,05 – 0,1 х 0,05 = 0,145.

Вероятность производства несоответствующей продукции равна 14,5%.