Решение.

Занятие № 17

Модели теории игр

 

Вопросы:

  1. Теория игр – это… теория принятия оптимальных решений в условиях конфликта.
  2. Игра – это… мат. модель конфликтной ситуации (упрощение реального конфликта)
  3. Как называются возможные действия игроков? (стратегии)
  4. Чистая стратегия – допустимая стратегия игрока.
  5. Оптимальная стратегия – стратегия, которая обеспечивает игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш)
  6. Как в теории игр представлена целевая функция? (в виде платежной матрицы)
  7. Что означают элементы платежной матрицы? (выигрыши игрока А)

 

Задача 6.2

Коммерческая фирма занимается реализацией новогодних игрушек. Спрос на елочные гирлянды может составить 200, 250, 300 или 350 шт. с вероятностями 0,3; 0,1; 0,2; 0,4 соответственно. Фирма закупает гирлянды по 2 д.е., а реализует по 3 д.е. Непроданные к Новому году гирлянды реализуются оптом по сниженной цене 1,8 д.е. Определить оптимальную стратегию поведения фирмы.

 

Решение.

Пусть игрок А – коммерческая фирма, игрок П – спрос на елочные гирлянды. У каждого игрока выделим по 4 стратегии, соответствующие количеству гирлянд (предлагаемых фирмой или спрашиваемых покупателями).

Составим платежную матрицу:

  П1(200) П2(250) П3(300) П4(350)
А1(200)
А2(250)
А3(300)
А4(350)
qj 0,3 0,1 0,2 0,4  

Т.к. фирма покупает гирлянды за 2 д.е., а продает за 3 д.е., то прибыль с каждой гирлянды по 1 д.е. Если предложение не превышает спрос, то прибыль будет равна числу гирлянд, имеющихся у фирмы (элементы на главной и выше главной диагонали).

Рассчитаем элемент a21. У фирмы есть 250 гирлянд, 200 из которых она может продать до Нового года и с каждой получить прибыль. Но оставшиеся 50 штук она продает по сниженной цене 1,8 д.е. после Нового года, т.е. несет убыток с каждой гирлянды 1,8 – 2 = –0,2 д.е. Таким образом, a21 = 200 ∙ 1 – 50 ∙ 0,2 = 190 д.е. Получается, что каждые лишние 50 гирлянд будут приносить фирме убыток 10 д.е.

? Поскольку в задаче даны вероятности спроса, то решение будем принимать в условиях риска, используя критерий Байеса.

? Какая стратегия считается оптимальной по Байесу? (стратегия, которая соответствует максимальному среднему выигрышу).

Средний выигрыш рассчитываем как среднее взвешенное выигрышей по стратегии, используя в качестве весовых коэффициентов вероятности.

- оптимальной по Байесу является 4-я стратегия.

Ответ: фирме следует закупать 350 елочных гирлянд.