а) Найдите 17-ый член получившейся последовательности однозначных чисел.

Б) Найдите сумму первой тысячи членов получившейся последовательности.

В) Чему равна наибольшая возможная сумма 1010 членов получившейся последовательности, идущих подряд?

Решение:

Запишем первые несколько членов исходной арифметической прогрессии (a_n): 2012 2017 2022 2027 2032 2037 2042 2047 …

Составим последовательность однозначных чисел (b_n) на основе заданного условия: 5 1 6 2 7 3 8 4 9 5 1 6 …

Заметим, что начиная с 10 члена последовательности, числа повторяются.

а) 17ый член последовательности можно найти, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: а₁₇=2012+16d=2012+16*5=2092, следовательно, b₁₇ =4.

б) т.к. члены последовательности (b_n) повторяются через каждые 9 номеров, то сумма первой тысячи членов получившейся последовательности однозначных чисел состоит из 100 повторов чисел: 5 1 6 2 7 3 8 4 9 5

Сумма первых 10 членов S₁₀=50. Тогда сумма первой тысячи членов S₁₀₀₀= 100*S₁₀=5000

в) выберем 2 идущих подряд числа последовательность однозначных чисел (b_n) дающих наибольшую сумму: b₉+b₁₀=14, b₁₀+b₁₁=6, b₁₁+b₁₂=7, b₁₂+b₁₃=8, … b₁₇+b₁₈=13, b₁₈+b₁₉=14. Далее результаты повторяются, и искомая сумма равна 14.

Сумма номеров последовательности (b_n) с 11-го по 19-ый равна 45.

1010 членов последовательности состоят из 112 повторов по 9 чисел, сумма которых равна 5040, и еще 2 чисел. Выберем 1010 чисел подряд из последовательности (b_n) таким образом, чтобы первые два числа давали наибольшую сумму.

Получим, что наибольшая возможная сумма 1010 членов данной последовательности равна 14+5040=5054.

Ответ: а) 4; б) 5000; в) 5054.