Замена земного эллипсоида шаром

Для решения задач на эллипсоиде используют довольно гро­моздкие формулы. Поэтому во всех случаях, когда точность позво­ляет, эллипсоид или его часть заменяют шаром. Эта замена осо­бенно актуальна при мелкомасштабном картографировании.

При замене эллипсоида шаром нужно выбрать подходящий радиус шара и перейти от широт (В) и долгот (I) эллипсоида к широ­там (ф) и долготам (к) на шаре. Нормали к поверхности шара совпа­дают с его радиусами. Поэтому сферические широта и долгота определяются следующим образом: широта (ф) равна центральному углу между радиусом шара, направленным на заданную точку, и плоско­стью экватора; долгота (к) определяется двугранным углом между плоскостями меридиана данной точки и начального меридиана.

Часто сферические долготы и широты приравнивают к соответствующим долготам и широтам эллипсоида:

X = L,q = B.

При картографировании ограниченных территорий радиус шара приравнивают к среднему радиусу Rцентральной точки карты.

При замене всей планеты шаром радиус вычисляют как среднее из следующих трех значений:

♦ радиуса шара, равного среднему из трех полуосей эллипсоида (двух экваториальных а и одной полярной Ь);

♦ радиуса шара, площадь поверхности которого равна площади поверхности эллипсоида;

♦ радиуса шара, объем которого равен объему эллипсоида.

Среднее из этих трех значений составляет 6371 км. Шар такого радиуса по размерам, площади поверхности и объему очень близок к земному эллипсоиду. На этом шаре дуга меридиана междуэкватором и полюсом на 5,5 км (0,05%) длиннее, а дуга четверти экватора на 11,2 км (0,1%) короче, чем на эллипсоиде. Эти погрешности, связанные с заменой эллипсоида шаром, на мелкомасштабных географических картах никак не проявляются.

Чтобы добиться наименьших искажений, применяют также способ двойного проектирования: сперва эллипсоид проектируют на шар, а затем шар — на плоскость. Обычно земной шар совмещают с эллипсоидом так, чтобы плоскости их меридианов совпадали. При этом долготы сферические (к) становятся равными долготам эллипсоида (L). Значения сферических широт и выбор радиуса шара зависят от способа отображения эллипсоида на шар.

При равноугольном отображении, когда углы с эллипсоида переносятся на шар без искажений, а формы контуров бесконечно малых размеров сохраняются, радиус шара приравнивается к большой полуоси эллипсоида (а).

Максимальное искажение длин проявляется на полюсах и составляет 0,3%. Наибольшая разность широт эллипсоида и шара имеет место на параллелях 45°. Это означает, что на шаре эта параллель по сравнению с ее положением на эллипсоиде смещается в сторону экватора примерно на 21,4 км.

При равновеликом отображении эллипсоида на шар, когда площади передаются без искажений, радиус шара вычисляется при условии равенства площадей поверхностей шара и эллипсоида. Для эллипсоида Красовского радиус такого шара составляет 6 371 116 м.

Максимальные искажения длин и углов возникают в точках экватора и составляют соответственно 0,1% и 3,8'. Наибольшие расхождения широт имеют место на параллелях 45° и равны 7'43,8". Эти параллели на шаре смещаются в сторону экватора примерно на 14,3 км.

При равнопромежуточном проектировании эллипсоида на шар, когда длины меридианов на шаре остаются равными их длинам на эллипсоиде, радиус шара R, соответствующего эллипсоиду Красовского, составляет 6 367 558,5 м.