Земной эллипсоид

Известно, что Земля шарообразна и по форме близка к сфероиду — фигуре, которую она приняла бы под влиянием только сил взаимного тяготения и центробежной силы вращения вокруг полярной оси. Из-за неравномерного распределения масс Земля имеет обширные, хотя и довольно пологие, выпуклости и вогнутости.

Фигуру Земли можно представить, вообразив поверхность, в каждой точке которой сила тяжести направлена по нормали к ней, т.е. по отвесной линии. Такую поверхность называют уровенной. Сложную фигуру нашей планеты, ограниченную уровенной поверхностью, проходящей через точку, закрепленную на высоте среднего уровня моря и являющуюся началом отсчета высот, называют геоидом. Иначе говоря, геоид представляет фигуру Земли, сглаженную до уровня Мирового океана (рис. 3.1). Благодаря использованию искусственных спутников и наземных измерений геоид достаточно изучен. При картографировании сложную фигуру геоида заменяют математически более простой — эллипсоидом вращения — геометрическим телом, которое образуется при вращении эллипса вокруг его малой оси (рис. 3.2). Наиболее известные эллипсоиды представлены в табл. 3.1.

В нашей стране в 1940 г. расчет эллипсоида был выполнен выдающимся ученым Ф. Н. Красовским (1878—1948) и его учеником А. А. Изотовым (1907—1988). Эллипсоид Красовского был утвержден в СССР для геодезических и картографических работ, его используют в России и в настоящее время.

Параметры эллипсоида, рекомендованные в 60-х годах международными астрономо-геодезическими организациями, применялись в Австралии, прилегающих к ней странах и в Южной Америке. Эллипсоиды системы геодезических параметров GRS-67 {Geodetic


Северный Ледовитый океан

Антарктида

Рис. 3.1. Меридиональное сечение геоида и земного эллипсоида

Рис. 3.2. Эллипсоид вращения (В, L — широта и долгота точки Q; L0 — начальный меридиан)

(ReferenceSystem, 1967) и WGS-72 (WorldGeodeticSystem, 1972) -это более ранние версии аналогичных современных вариантов.

По табл. 3.1 нетрудно проследить, как со временем повышалась точность определения большой полуоси и сжатия земного эллипсоида. В настоящее время параметры современной точности имеют эллипсоид системы GRS-80 {GeodeticReferenceSystem, 1980), составляющей основу современных координатных систем

Таблица 3.1 Основные земные эллипсоиды и их параметры

 

Эллипсоид Годы Большая полуось а (м) Сжатие а
Дсламбра 6 375 653 1/334
Вальбека 6 376 896 1/303
)йри 6 377 563,396 1/299,3249646
'•) нереста 6 377 276,345 1/300,8017
Ьссселя 6 377 397 1/299,15
Кларка 6 378 206 1/294,98
Кларка 6 378 249 1/293,46
Хейфорда 6 378 388 1/297
Красовского 6 378 245 1/298,3
Австралийский 6 378 160 _j 1/298,25
GRS-67 6 378 160 1/298.247167247
WGS-72 6 378 135 1/298,26
GRS-80 6 378 137 1/298,257222101
WGS-84 6 378 137 1/298,257223563
ПЗ-90 6 378 136 1/298,257839303

Австралии, Европы, стран Северной и Центральной Америки, WGS-84 (WorldGeodeticSystem, 1984), получивший мировое распространение благодаря американской глобальной системе спутникового позиционирования, и российский ПЗ-90 (Параметры Земли, 1990).

Различают общеземной эллипсоид,наилучшим образом подходящий для решения глобальных картографо-геодезических задач, и конференц-эллипсоиды, используемые в отдельных регионах и странах.

Эллипсоид вращения характеризуют два параметра: большая экваториальная полуось (а) и полярное сжатие.

Эти параметры, а также площади поверхностей для эллипсоидов WGS-84, ПЗ-90 и Красовского, наиболее важных для картографических и геодезических работ в России, приведены в табл. 3.2.

Параметрыосновных земных эллипсоидов

Таблица 3.2


 

Параметры Эллипсоиды
    WGS-84 ПЗ-90 Красовского
а 6 378 137 6 378 136 6 378 245
b 6 356 752,314 6 356 751,362 6 356 863,019
а 1/298,257223563 1/298,257839303 1/298,3
е2 0,006694379990 0,006694366193 0,006693421623
Площадь 510 065 622 510 065 464 510 083 059

Положение любой точки на земном эллипсоиде определяется широтой и долготой.

Широта (В) — угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора; долгота (L) — двугранный угол между плоскостями ме­ридианов данной точки и начального меридиана (см. рис. 3.2).

Рассекая эллипсоид плоскостями, проходящими через полярную ось, получают линии меридианов, а плоскостями, проходящими перпендикулярно этой оси, — линии параллелей. Линия экватора — след сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр перпендикулярно полярной оси.

Сетка меридианов и параллелей на земном эллипсоиде, шаре или на глобусе называется географической сеткой.

Наиболее важными радиусами эллипсоида вращения являются:

М — радиус кривизны меридиана;

N — радиус кривизны первого вертикала (линии, получаемой сечением эллипсоида плоскостью, проходящей через нор­маль в данной точке и перпендикулярно плоскости мери­диана);

R— средний из радиусов всевозможных сечений, проведен­ных через нормаль в данной точке эллипсоида;

г — радиус параллели.

Легко заметить, что радиус М у полюса больше, чем на экваторе. Это означает, что кривизна меридианного эллипса убывает от экватора к полюсам. Радиус меридиана получает наибольшие изменения на средней широте, где с каждым градусом широты он изменяется примерно на 1 км. Радиус М нужен прежде всего для вычисления длин дуг меридианов и нахождения широт по этим дугам. Средний радиус кривизны Rприменяют, например, в задачах, связанных с развертыванием поверхности эллипсоида на по­верхность сферы. В табл. 3.3 приведены значения радиусов эллипсо­ида на разных широтах и диапазоны их изменения.

Таблица 3.3 Радиусы земного эллипсоида на разных широтах

 

Широта, ЕР М, км N, км R, км
6 336 6 378 6 357
6 351 6 384 6 368
6 384 6 394 6 389
6 400 6 400 6 400
Л™х>КМ
д , % max' % %

При создании и использовании карт приходится определять длины дуг параллелей и меридианов. Наиболее просто вычисляется длина дуги параллели. Параллель — окружность, ее длина Spмежду двумя точками с долготами Lxи L2равна произведению радиуса этой параллели на разность долгот, выраженных в радианной мере. Меридиан — эллипс. Вычисления его длин дуг более сложны.