Раздел 6. Определенный интеграл и его применение

Вычислить следующие определенные интегралы.

 

6.1. . 6.2. .

6.3. . 6.4. .

6.5. . 6.6. .

6.7. . 6.8. .

6.9. . 6.10. .

6.11. . 6.12. .

6.13. . 6.14. .

6.15. . 6.16. .

6.17. . 6.18. .

6.19. . 6.20. .

 

6.21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1) осями координат, прямой x = 3 и параболой y=x²+1;

2) осью ординат, прямыми y = - 2 , y = 3 и параболой 2x = y²;

3) параболами y = x² + 1, и прямой y = 5;

4) параболами y = x² и x = y² .

 

6.22. Найти площади двух фигур, ограниченных параболой y² = 2x и окружностью y² = 4x – x² .

 

6.23. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y² = x (x – 1)² .

6.24. Вычислить площадь фигуры, ограниченных параболой y = - x² + 6x – 5 и осями координат.

 

6.25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1) окружностью x² + y² = R²;

2) одной полуволной синусоиды y = sin x и осью Оx ;

3) гиперболой y·x = 7 и прямыми x = 2 , x = 7 , y = 0 ;

4) кривой y = ln x и прямыми x = e , y = 0 ;

5) параболой y = 4 – x² и осью абсцисс ;

6) полукубической параболой y² = x³ , осью ординат и прямой y = 2 ;

7) линией и прямыми x = - a , x = a (a>0);

8) кубической параболой y = x³ , прямой y = 2 и осью Оy ;

9) кривыми y = e^x , y = e^-x и прямой y = 4 ;

10) эллипсом (a>0, b>0);

11) Линиями y = x² и .

 

6.26. Вычислить длину дуги параболы y² = 4x от вершины до точки M (1; 2).

 

6.27. Вычислить длину дуги кривой от x = 0,75 до x= 2,4 .

6.28. Эллипс a > b вращается: 1). вокруг большой оси; 2). вокруг малой оси. Найти объемы получающихся эллипсоидов вращения.

 

6.29. Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) (a>0);

 

 

Ответы

 

6.1. . 6.2. . 6.3. . 6.4. . 6.5. e². 6.6. . 6.7. – 1. 6.8. . 6.9. . 6.10. . 6.11. . 6.12. . 6.13. .

6.14. . 6.15. . 6.16. . 6.17. . 6.18. .

6.19. . 6.20. . 6.21. 1). 12; 2). ; 3). ; 4). .

6.22. . 6.23. . 6.24. 13. 6.25. 1) R²; 2) 2; 3) 7 ln 2,5; 4) 1; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ab ; 11). .

6.26. . 6.27. 1,35 + ln 2. 6.28. 1). ; 2). .

6.29. 1). ph² ; 2). 8 ; 3). 64 ; 58,5 ; 4). ; 5). .