Пример решения задачи симплексным методом
Торговое предприятие, располагающее материально-денежными ресурсами, реализует три группы товаров А, В и С. Плановые нормативы затрат ресурсов на тыс. руб. товарооборота, прибыль от продажи товаров на тыс. руб. товарооборота, а также объем ресурсов заданы в таблице 2.
Определить плановый объем продажи и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
Таблица 2
| Виды материально-денежных ресурсов | Норма затрат материально-денежных ресурсов на ед. товарооборота, тыс. руб. | Объём ресурсов
| ||
| А _ группа _ | В группа | С группа | ||
| Рабочее время продавцов, чел./ч | 0,1 | 0,2 | 0,4 | |
| Площадь торговых залов, м2 | 0,05 | 0,02 | 0,02 | |
| Площадь складских помещений, м2 | ||||
| Прибыль, тыс.руб. | max |
1.Запишем математическую модель задачи.
Определить 
, который удовлетворяет условиям
и обеспечивают максимальное значение целевой функции
Для построения первого опорного плана систему неравенств, приведем к системе уравнений.
В матрице этой системы уравнений 
имеет:
Векторы 
- линейно независимы, так как определитель, составленный из компонент этих векторов, отличен от нуля:
Соответствующие этим векторам переменные 
будут базисными.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных.
Функцию цели запишем в виде:
2. Полагая, что свободные переменные 
=0, 
=0, 
=0, получим первый опорный план
=(0,0,01100,120,8000), F 
= 0, в котором базисные переменные 
=1100, 
=120, 
=8000,
следовательно товары не продаются и прибыль равна нулю, а ресурсы не используются.
Заносим первый опорный план 1 в симплексную таблицу.
| План | Базисные переменные | Ресурсы плана | Значения коэффициентов при переменных |
 
| |||||
|
|
|
|
|
|
| ||||
| I план |
| 1100 120 8000 | 0,1 0,05 3 | 0,2 0,02 1 | 0,4 0,02 2 | 0 1 0 | |||
| Инд. Строка | 
| -3 | -5 | -4 | |||||
| II план |
| 5500 10 2500 | 0,5 0,04 2,5 | -0,02 0 | -0,1 -5 | ||||
| Инд. Строка | 
| -0,5 | |||||||
| III план |
| 5375 250 1 875 | 2,25 -0,5 1,25 | 6,25 -2,5 1,25 | -12,5 25 -62,5 | 0 0 | |||
| Инд. строка | 
| 5,75 | 23,75 | 12,5 |
Симплексная таблица
Первый опорный план 1 не оптимальный, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты - -3,-5,-4.
За ведущий столбец выберем столбец, соответствующий переменной , так как сравнивая по модулю имеем:
|- 5| > 
|- 3I, |- 4I} Рассчитываем значения 9 по строкам, как частное от деления 
и выбираем наименьшее:
Следовательно, первая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен 0,2 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки и выделен кругом.
3. Формируем следующую симплексную таблицу. Вместо переменной в план II войдет переменная . Строка, соответствующая переменной в плане II, получена в результате деления всех элементов строки плана I на разрешающий элемент 
. На месте разрешающего элемента в плане II получаем 1. В остальных клетках столбца плана II записываем нули.
Таким образом в новом плане II заполнены строки и столбец . Все остальные элементы нового плана II, включая элементы индексной строки определяется по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана 4 числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент . Во второй вершине по диагонали находится старое значение элемента, например, значение целевой функции 
, которое указывает на место расположение нового 
в новом плане II. Третий элемент А=1100 и четвертый элемент В=-5 завершают построение прямоугольника в недостающих двух вершинах и расположены по другой диагонали. Значение нового элемента в плане II находится из выражения:
Элементы строки определяются аналогично:
Все элементы, расположенные на пересечении строк и столбцов, соответствующих одновременным базисным элементам равны 1, остальные элементы столбца в базисах векторов, включая индексную строку, равны 0. Аналогично проводятся расчеты по всем строкам таблицы, включая индексную.
Выполняя последовательно веб этапы алгоритма, формируем план II.
4. На третьей интеракции таблицы 3 получаем план III, который является оптимальным, так как все коэффициенты в индексной строке 
0.
Оптимальный план можно записать так:
X = (250,5375,0,0,0,1875), 
27625 тыс. руб.
Следовательно, необходимо продавать товаров первой группы А 250 ед., а второй группы В - 5375 ед. При этом торговое предприятие получает максимальную прибыль в размере 27625 тыс. руб. Товары группы С не реализуются.
"В оптимальном плане среди базисных переменных находится дополнительная переменная 
.Это указывает, что ресурсы третьего вида (площадь складских помещений) недоиспользована на 1875 м2 , так как переменная была введена в третье ограничение задачи, характеризующее собой использование складских помещений.
В индексной строке оптимального плана в столбцах переменных 
не вошедших в состав базисных, получены ненулевые элементы, поэтому оптимальный план задачи линейного программирования является единственным.
Литература.
1.Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. Учебник. М.: Финансы и статистика. 2004.
2.Беляев А.А., Артамонов В.А., Фомин Г.П. Прикладная Математика. Учеб. пособие ч.1. М.: РГТЭУ, 2002.
3.Кузнецов Ю.П. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980.
4.Спирин А.А., Фомин Г.П. Экономике- математические методы и модели в торговле. М.: Экономика, 1988.