Нормальное распределение

 

Непрерывная случайная величина с плотностью называется нормально распределенной. Символически это записывают так: Х ~ N(а; s). Вероятностный смысл параметров аÎ(–¥;+¥) и sÎ(0;+¥): М[x] = a; D[x] = s².

Распределение N(0; 1) называется стандартным нормальным законом, его плотность обозначается j(х).

Функция распределения Х ~ N(0; 1)

.

называется функцией Лапласа. Функция Лапласа нечетна: , поэтому её табулируют только для неотрицательных х.

Замечание. В книгах используют разные обозначения для функции Лапласа. Кроме того, функцией Лапласа называют различные функции.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х ~ N(а; s) в промежуток (a; b) Р{a £ Х £ b} = .

Для этой величины вероятность отклонения от математического ожидания не более чем на g: .

При g = 3s , откуда следует эмпирическое правило «трех сигм»: выход нормальной случайной величины за трехсигмовый интервал есть событие практически невозможное.

Устойчивость нормального закона. Линейная комбинация ( ~ ) независимых нормальных случайных величин является нормально распределенной случайной величиной с параметрами и .

 

14.1. Найти числовые характеристики случайной величины Х: а) с плотностью вероятности ; б) с функцией распределения .

14.2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 4 и дисперсией D = 4. Записать её плотность и найти Р{1 £ X £ 5}, Р{X £ 5}.

14.3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N(20, 10). Найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 3.

14.4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 10. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, если известно что Р{10 < X < 18,5} = 0,3023.

14.5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N(a, s). Найти значения a и s, если известно что Р{X < 10} = 0,6554 и Р{X > 12} = 0,2119.

14.6. Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением 0,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 68 т, но не менее 63 т.

14.7. Мастерская изготовляет стержни, длина которых представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием m = 25 см и средним квадратическим отклонением s = 0,1 см. Найти вероятность того, что отклонение длины стержня в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.

14.8. Диаметр детали, изготовляемой на станке, – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 25 см и средним квадратическим отклонением s = 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

14.9. Номинальный размер детали 100 мм, технический допуск ±0,25 мм. Среднее квадратическое отклонение, характеризующее точность станка-автомата, на котором получают деталь, равно 0,1 мм. Считая, что закон распределения размера детали близок к нормальному, найти: а) процент брака; б) процент деталей, размер которых заключен в пределах от 100,1 мм до 100,2 мм.

14.10. Линейная размерная цепь содержит 16 составляющих размеров X₁, X₂, ¼, X₁₆ и замыкающий размер Y = X₁ +¼+ X₁₅ – X₁₆ . Технология изготовления такова, что отдельные составляющие размеры слабо зависимы и выполняются с одной точностью s = 1 мм. Применив правило 3s, найти максимальное отклонение замыкающего размера Y от номинального. Какова вероятность того, что это отклонение не превзойдет 8 мм?

14.11. Самолет берет четырех пассажиров, не считая пилота, или не более 360 кг груза. Допустим, что вес пассажира есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним весом 75 кг и стандартным отклонением 10 кг. Как часто самолет будет перегружен, беря на борт четырех пассажиров?

 

14.12. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m = 40 и дисперсией D = 200. Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (30; 80).

14.13. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х и вероятность , если известно, что и .

14.14. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и средним квадратическим отклонением 0,9 см. Найти: а) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр от 4 до 7 см; б) вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

14.15. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 1,6 и средним квадратическим отклонением s = 1. Найти вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1; 2).

14.16. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением 0,9 т. Локомотив может вести состав массой не более 6520 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.