Глава 5. Дискретные случайные величины и их характеристики

 

Пусть , - вероятностное пространство, –множество действительных чисел.

Определение. Случайной величиной называется действительная функция , ( ) такая, что для каждого действительного

.

Напомним, что – -алгебра событий, то есть – некоторое событие вероятностного пространства.

 

Определение. Функция

(5.1)

называется функцией распределения вероятностей случайной величины .

Свойства функции распределения вероятностей:

1. для любого ;

2. - неубывающая, непрерывная слева;

3. т.е. , ;

4. .

 

Определение. Случайные величины и называются независимыми, если при любых действительных и имеет место

.

 

К основным числовым характеристикам случайных величин относят математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число

, (5.2)

(при условии, что ряд сходится). Здесь –значения случайной величины , –вероятность, с которой случайная величина принимает значение .

Свойства математического ожидания.

1. Если , то . Иначе , где .

2. , где .

3. .

4. Если случайные величины и независимы, то .

 

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число

, (5.3)

(при условии, что ряд сходится).

 

Определение. Дисперсией случайной величины называется число

, (5.4)

Свойства дисперсии.

0. .

1. Если , то . Иначе , где .

2. , где .

3. Если случайные величины и независимы, то

.

4. .

 

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют величину .