Биномиальное распределение

(распределение Бернулли)

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие появляется с одной и той же вероятностью р. Такая ситуация называется схемой Бернулли. Требуется найти вероятность того, что событие появляется ровно k раз. Искомая вероятность обозначается и находится по формуле Бернулли

(3.36)

Здесь , – число сочетаний из n элементов по k.

По формуле (3.36) можно найти вероятность того, что событие появляется в n испытаниях 0, 1, 2, …, n раз. Такое распределение вероятностей называется биномиальным.

Пример 3.24. Производится 4 выстрела по мишени с вероятностью попадания 0,8 в каждом выстреле. Найти вероятность 1) ровно двух попаданий, 2) ровно трех попаданий.

 

Решение

1. ,

2. .

Заметим, что события (k = 0), (k = 1), ... (k = n) несовместны и в сумме образуют достоверное событие =1.

Основные числовые характеристики биномиального распределения вычисляются по формулам

, ,

(3.37)

В примере 2.15 ; ; .

Мода (наивероятнейшее значение) биномиального распределения находится из неравенства

(3.38)

При этом, если есть целое число, то биномиальное распределение имеет две моды:

и .