Аксиоматическое определение вероятности

Свойства вероятности 1° – 3°, установленные в классическом, геометрическом и статистическом определениях вероятности, в аксиоматическом определении принимаются в качестве системы аксиом (только свойство 3° формулируется в более общем виде), а вероятность задается как функция (нормированная мера), определенная на множестве событий.

Прежде, чем переходить к аксиоматике, уточним понятие случайного события. Если пространство элементарных событий имеет конечное или счетное число элементов, то действительно в соответствии с определением из раздела 1.2 случайным событием можно считать любое подмножество . Сложности возникают, когда пространство элементарных событий несчетно. Если и в этом случае под событием понимать любое подмножество , то корректно определить его вероятность удается не всегда (см. замечание в разделе 1.5 и пример в конце данного раздела).

В связи с этим, класс подмножеств W, которые считают событиями, ограничивают. При этом естественно требуют, чтобы этот класс был замкнут относительно операций над событиями, т.е. чтобы результат выполнения операций над событиями (в том числе и в счетном количестве) был снова событием.

-алгебра событий

Определение. Пусть W - произвольное множество. Класс подмножеств множества W (не обязательно всех) называется -алгеброй событий или
-алгеброй подмножеств W, если выполнены следующие свойства:

А1) ( -алгебра событий содержит достоверное событие);

А2) если , то (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);

А3) если , то (вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит их сумму).

Свойства А1) – А3) часто называют аксиомами -алгебры.

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости класса подмножеств и относительно других операций над событиями.

1. ( -алгебра событий содержит невозможное событие).

▲ Поскольку по А1), то в силу А2). ■

2. При выполнении А1) и А2) свойство А3) эквивалентно свойству А4):

А4) если , то (вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит их произведение).

 

▲ Докажем, что при выполнении А1) и А2) из А3) следует А4).

Если , то при всех по свойству А2) . Тогда из А3) следует, что , и по А2) дополнение к этому множеству также принадлежит , то есть . Но в силу свойств двойственности .

Доказательство в обратную сторону полностью аналогично. ■

3. Если , то .

▲ , так как , и по А4) их произведение также принадлежит . ■

Множества и только они далее будут считаться событиями, наступление которых возможно в результате данного случайного эксперимента.

Пример. Пусть - конечное пространство элементарных событий. Следующие классы подмножеств являются -алгебрами:

1. - тривиальная -алгебра.

2. , где А – произвольное подмножество .

3. - множество всех подмножеств (доказать, что при этом число всех подмножеств в равно ).

Определим теперь вероятность как функцию, определенную на множестве событий (то есть функцию, которая каждому событию ставит в соответствие число), а точнее как неотрицательную нормированную меру, заданную на -алгебре событий .