Задачи.

17.51. Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценить вероятность того, что в данном году будет направлено в аспирантуру менее 220 молодых специалистов.

17.52. Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будет не меньше 900.

17.53. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от не менее, чем на 0,1?

17.54. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от не менее, чем на 0,2?

17.55. Для СВ Х известна дисперсия и неравенство

. Найти число а.

17.56. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.

17.57. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.

 

Теорема Чебышева.(Закон больших чисел.)Если случайные величины попарно независимы, имеют математическое ожидание и дисперсию, каждая из которых ограничена одним и тем же числом С, то для любого числа выполняется неравенство

 

, (13)

откуда

.

 

В частном случае, когда все СВ имеют одно и то же математическое ожидание , неравенство принимает вид

 

,

откуда

.

 

Теорема Бернулли.Если m – число наступлений события А в n независимых испытаниях и р – вероятность наступления события А в каждом из испытаний, то для любого

 

. (14)

Отсюда следует

.

 

 

Пример.

Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых подбрасываниях игрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше, чем на 0,01. Решение.

В данном случае n = 10000, p = 1/6, q = 5/6. Воспользуемся теоремой Бернулли (14):

.