Аксиоматическое определение вероятности.

Число P(A), поставленное в соответствие каждому наблюдаемому в опыте событию A и удовлетворяющее аксиомам

1) ;

2) P(W)=1;

3) Для любой последовательности A₁,…,A_n,…попарно несовместных событий (A_iA_j=Æ при i¹j):

называется вероятностью события А. В частном случае, для пространства W={w₁,…,w_n} с равновероятными исходами , получаем классическое определение вероятности.

 

 

Пример.

В урне имеются 4 шара с номерами 1, 2, 3, 4. Из урны извлекают два шара. Найти вероятность события А – сумма номеров извлеченных шаров равна 5.

Решение.

Построим пространство элементарных событий W для заданного в условии испытания. Оно состоит из шести элементарных событий: , , , , , . Все перечисленные события равновозможны, поэтому

.

Далее, событие А – сумма номеров на извлекаемых из урны шарах должна быть равна 5, состоит из событий и , т.е. . Отсюда

.

 

Геометрическое определение вероятности. Если событие А ‑ попадание в область G точки, наудачу выбранной в области W, то вероятность события A определяется формулой

,

где mes G - мера области g (длина, площадь, объем), mes W - мера области W (длина, площадь, объем).

Пример.

В круг вписан квадрат. Найти вероятность события А – точка, брошенная наудачу внутрь круга, окажется внутри квадрата.

Решение.

Пространство W - множество точек круга (радиуса R). Количественной характеристикой (мерой) пространства W является площадь круга, а количественной характеристикой бесконечного множества случаев, благоприятствующих событию А, служит площадь квадрата. Поэтому

.