Задачи.

1. Существует ли функция вида (где коэффициенты a₀, a₁, ..., a_n; b₀, b₁, ..., b_n - целые числа), обладающая следующим свойством: для любого рационального числа r найдется такое целое число k, что f(k)=r.

2. Найти биекцию числовой прямой на интервал (а, в).

3. Найти биекцию полуотрезка [0, 1) на полуось [0, ¥).

4. Построить биекцию отрезка [0, 1] на всю числовую ось.

5. Существует ли непрерывная функция, являющаяся биекцией отрезка [а, в] на всю числовую ось?

6. Существует ли непрерывная функция, являющаяся биекцией отрезка [а, в] на интервал (с, d)?

7. Установить биекцию между открытым и замкнутым единичным кругом.

8. Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?

9. Какова мощность множества всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?

10. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, определенной на всей числовой прямой, не более чем счетно.

11. Пусть Е - счетное множество точек на прямой. Можно ли так сдвинуть это множество на величину а (т.е. заменить все точки хÎЕ точками х + а), чтобы получившееся в результате сдвига множество Е_a не пересекалось с Е?

12. Пусть Е – счетное множество точек на окружности. Можно ли повернуть окружность вокруг центра на некоторый угол j так, чтобы множество Е_j, получившееся из Е в результате поворота, не пересекалось с Е?

13. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества Е на прямой больше единицы, то множество Е не более чем счетно.

14. Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел?

15. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел, не содержащих число 7?

16. Какова мощность множества всех многочленов (с произвольными вещественными коэффициентами)?

17. Какова мощность множества всех отрезков на числовой прямой?

18. На числовой прямой задано множество попарно непересекающихся отрезков. Какова его мощность?

19. Какова мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций на отрезке [а, в]?

20. Доказать, что если А – В равномощно В – А, то А и В равномощны.

21. Доказать, что если А Í В и А равномощно АÈС, то В равномощно ВÈС.

22. Верно или нет утверждение: “Если А равномощно С, В равномощно D, причем А Ê В, С Ê D, то А – В равномощно С – D”?

23. Доказать, что множество всех конечных подмножеств счетного множества – счетно.

24. Какова мощность множества всех конечных и счетных подмножеств множества Е, если Е имеет мощность континуума?