Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.

Исходным материалом всякого стат. исследования является сов-сть рез-тов наблюдения. В рез-те наблюдения за случ. явлением или проведения эксперимента получают некоторые числовые данные, кот. записывают в виде таблиц. Все необходимые сведения об эксперименте или изучаемом случ. явлении должны быть зафиксированы. Сов-сть наблюденных или экспериментальных данных представляет собой первичный стат. материал. Эта сов-сть называется простой стат. сов-стью или простым стат. дискретным рядом. Рассмотрим случ. эксперимент, кот. описывается одномерной СВ Х. Мат. моделью эксперимента является тройка (Ω_X, F_X, F(x)), где Ω_X – мн-во возм. знач. СВ Х, F_X – σ-алгебра числового мн-ва, F(x) – ф-ция распр. СВ Х. Осуществив n независимых повторений эксперимента, получим посл-сть n наблюденных знач. СВ Х, которые обозначим х₁, х₂, …, х_n. Они принадлежат мн-ву знач. Ω_X СВ Х, т.е. {х₁, х₂, …, х_n} ÌΩ_X. Мн-во {х₁, х₂, …, х_n}ÌΩ_X называют выборкой, а число элементов, входящих в выборку, - объемом выборки. Мн-во Ω_X принято называть ген. сов-стью, а число эл-тов Ω_X – объемом ген. сов-сти.

Выборочное распределение. Пусть дана выборка {х₁, х₂, …, х_n}, x_iÎΩ_X, . Числа x_i, , образующие выборку, являются наблюденными знач-ми СВ Х (непрерывной или дискретной), полученными при реализации n независимых экспериментов. Эксперименты повторяются при одних и тех же усл. σ. Для придания компактности и наглядности выборке в случае, когда СВ Х – непрерывная, весь диапазон наблюденных данных делят на интервалы или разряды и подсчитывают кол-во знач. m_i, входящих в данный интервал, т.е. определяют абс. частоты наблюденных данных. По абс. частотам, входящим в данный интервал, находят отн. частоты W_i=m_i/n, причем . Ясно, что сумма всех относит. частот W_i равна 1, т.е. . Полученные интервалы и соотв. отн. частоты записывают в виде таблицы, кот. назывется интервальным рядом распр.. Интервальный стат. ряд будет задавать распр. выборки, кот. однозначно опр-ся самой выборкой.

 

 

43. Теорема Чебышева.

Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений СВ и ее мат. ожиданием.

Теор.: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к ее мат. ожиданию. Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого напомним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что СВ Х_n сходится по вероятности к величине а, если при увеличении n вероятность того, что Х_n и а будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом n P(|Х_n – a|<ε)>1 – δ, где ε, δ – произвольно малые положительные числа. Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении n среднее арифметическое сходится по вероятности к m_x, т.е. P(| - m_x|<ε)> 1 – δ. Докажем это нер-во. Величина Y = имеет числовые хар-ки m_y = m_x; D_y = D_x/n. Применим к СВ Y нер-во Чебышева, полагая , что α = ε: P(|Y - m_y| ≥ε) ≤ D_y/ε² = D_x/n ε². Как бы мало ни было число ε, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось нер-во D_x/n ε²<δ, где δ – сколь угодно малое число. Тогда P(| - m_x|≥ε) <δ, откуда, переходя к противоположному событию, имеем: P(| - m_x|<ε)> 1 – δ, что и требовалось доказать.