Биномиальное распределение

Биномиально распределенной с параметрами n и p дискретной случайной величиной Х называется величина, характеризующая число появлений события А в n независимых испытаниях Бернулли, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Вероятность того, что Х примет свое значение k задается формулой Бернулли, т.е.

,

где q = 1 – p; k = 0, 1, ..., n.

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,8. Производится три выстрела. Составить закон распределения случайной величины – числа попаданий в цель.

Решение. Дискретная случайная величина X – число попаданий в цель – распределена по биномиальному закону с параметрами - число независимых испытаний (выстрелов) и - вероятность попадания в цель при одном выстреле и может принимать значения с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли:

Проверка: - верно.

Закон распределения случайной величины X имеет вид:

 

	0,008	0,096	0,384	0,512

 

 

ЗАДАЧИ

1.В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Случайная величина Х – число пар обуви, изготовленных первой фабрикой среди купленных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой величины.

2.В экзаменационном билете 3 задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна 0,8, второй – 0,6 и третьей – 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа правильно решенных задач.

3.Случайная величина Х принимает значения и с вероятностями 0,2 и 0,8 соответственно. Известны ее математическое ожидание М(Х) = 1,3 и дисперсия D(X) = 0,16. Найти значения случайной величины.

4.Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.

5.Найти закон распределения числа пакетов акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

6.Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. 7.Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

8.Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

9.В магазине имеются 10 телевизоров, из которых 4 дефектные. Пусть Х – случайная величина – число исправных телевизоров среди трех выбранных. Найти закон распределения X, M(X) и D(X).

10.Вероятность выигрыша по облигации равна 0,05. Пусть Х – случайная величина, число выигрышных облигаций из 5. Найти М(Х) и D(X).

Для рекламы фирма вкладывает в каждую 10-ю единицу продукции приз в 1000 руб. Пусть Х – случайная величина – размер выигрыша при 3 сделанных покупках. Изобразить график функции распределения Х и М(Х).