Формула Байеса

Формула используется для пересчета априорных вероятностей гипотез H₁, H₂,..., H_n при условии, что событие А уже произошло.

Пример.Имеется три урны с различным составом шаров в каждой. В первой - 5 белых и 5 черных, во второй - 3 белых и 3 черных, в третьей - 2 белых и 4 черных.

Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Определить вероятность того, что он был вынут из третьей урны.

Решение:

Введем обозначения для рассматриваемых событий.

Пусть А - извлечен белый шар. - выбрана первая урна.

- выбрана вторая урна. - выбрана третья урна.

- вероятность извлечения белого шара из первой урны.

- вероятность извлечения белого шара из второй урны.

- вероятность извлечения белого шара из третьей урны.

Определим вероятности, соответствующие этим событиям . Так как все урны одинаковы, то

, , .

Тогда, используя формулу полной вероятности, получим:

Пересчитаем вероятность третьей гипотезы с условием, что произошло рассматриваемое событие, используя формулу Байеса.

= .

ЗАДАЧИ

1. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,3; второй - 0,4 ; третий - 0,7 ; четвертый - 0,4. Найти вероятность того, что ни один станок в течение часа не потребует внимания рабочего.

2. Для сообщения об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора - автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.

3.В студии телевидения три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

4.Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь сорок первого размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь сорок первого размера.

5. Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания для первого орудия - 0,5; для второго - 0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в танк, если из каждого орудия сделано по 3 выстрела.

6. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар. После чего из нее наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что извлеченным окажется белый, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

7. Из группы туристов, отправляющихся за границу, 60 % владеют английским языком, 40 % - французским и 10 % - обоими языками. Найти вероятность того, что наугад взятый турист не будет знать ни одного языка.

8. На строительство объекта поступают железобетонные плиты из 4 цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак (несоответствие ГОСТ), равный в процентном отношении соответственно 1, 5, 2 и 3. Какова вероятность того, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТ?

9. В городе находятся 15 продовольственных и 5 непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации были отобраны три магазина. Найти вероятность того, что третий по счету магазин – непродовольственный.

10. Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0,9; от второй – с вероятностью 1. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0,1; для второй – 0,02. В случае банкротства фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль?